24匀变速直线运动的速度与位移的关系

第4节匀变速直线运动的速度与位移的关系要点一匀变速直线运动的速度与位移的关系1．推导：根据匀变速直线运动的基本公式v＝v0＋atx＝v0t＋12at2消去时间t得v2－v20＝2ax即为匀变速直线运动的速度—位移关系式．2．对速度—位移关系式v2－v20＝2ax的理解(1)公式仅适用于匀变速直线运动．(2)式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间内的位移．(3)v、v0、a、x均为矢量，要规定统一的正方向．(4)当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax；v＝0时，公式简化为－v20＝2ax.(5)该式是由匀变速直线运动的两个基本公式推导出来的，因不含时间，所以在不涉及时间的问题中应用很方便．(1)公式v2－v20＝2ax中四个物理量均是矢量，应用它解题时要注意各物理量的正、负值．(2)刹车问题由于末速度为零，应用此公式解题往往很方便．要点二匀变速直线运动的两个重要结论1．任意两个连续相等的时间间隔(T)内，位移之差是一恒量．即：x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝Δx＝aT2.解析：如图所示，将匀变速直线运动分成若干时间段，每段时间都为T，设质点在每段时间内通过的位移大小分别为x1、x2、x3…则有x1＝v0T＋12aT2x2＝(v0＋aT)T＋12aT2x3＝(v0＋2aT)T＋12aT2……得x2－x1＝x3－x2＝…＝aT2，即Δx＝aT2.2．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即vx/2＝v20＋v22.解析：如图所示，设初位置为A，末位置为C，中点为B，AC的距离为x，则对AB段有：vx22－v20＝2ax2对BC段有：v2－vx22＝2ax2，所以v2x/2－v20＝v2－v2x/2即2v2x/2＝v2＋v20，可得vx/2＝v20＋v22.有的同学误认为对于某段匀变速直线运动过程，其中间时刻对应位置和中间位置是同一点，且两者速度大小相等．辨析：两者并不是同一点，且vx2≥xt2.我们可以借助v­t图象进行分析，当物体做匀加速运动时，由图甲可知：vx2vt2.当物体做匀减速运动时，由图乙可知，此时也是vx2vt2.当物体做匀速直线运动时，速度不变，此时vx2＝vt2.要点三纸带问题的处理方法1．判断物体是否做匀变速直线运动由于相邻相等时间内物体位移差Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…xn－xn－1＝aT2如果物体做匀变速直线运动，即a恒定，则Δx为一恒量，这一结论反过来也成立，即如果所打纸带在任意两个相邻相等时间内位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．2．求加速度利用纸带上相邻相等时间段的位移差，计算加速度a＝ΔxT2.但利用一个Δx求得的加速度偶然误差太大，最好多次测量求平均值．同学们可能会想到求平均值的方法可以有两个：一是求各段Δx的平均值，用Δx求加速度，二是对每一个位移差分别求出加速度，再求加速度的平均值．但这两种求平均值的方法实质是相同的，都达不到减小偶然误差的目的．如：a＝a1＋a2＋……＋ann＝Δx1T2＋Δx2T2＋…＋ΔxnT2n＝x2－x1＋x3－x2＋…＋xn＋1－xnnT2＝xn＋1－x1nT2这样求平均值的结果仍是由两段T内的位移xn＋1和x1决定，偶然误差相同．怎样才能把纸带上各段位移都利用起来呢？如果纸带上测得连续6个相同时间T内的位移为x1、x2、x3…x6，如图所示．则x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2，x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2，x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2，所以a＝x6－x3＋x5－x2x4－x19T2，这样就把各段位移都利用上了，有效地减小了仅由两次位移测量带来的偶然误差，这种方法被称为逐差法．要点四初速度为零的匀加速直线运动的几个比例1．1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n2．1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n23．第一个T内，第二个T内，第三个T内，…第n个T内位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)4．通过前x、前2x、前3x…时的速度比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n5．通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间的比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶2∶3∶…∶n6．通过连续相等的位移所用时间之比为tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)(1)以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动．(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化.2008年9月25日21时10分04秒，我国自行研制的神舟七号载人飞船成功发射，在太空绕地球飞行45圈后于28日17时37分顺利着陆．在返回的过程中，神舟七号载人飞船的返回舱距地面10km时开始启动降落伞装置，速度减至10m/s，并以这个速度在大气中匀速降落．在距地面1.2m时，返回舱的4台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速．设最后减速过程中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时恰好速度为0，求最后减速阶段的加速度．题型1速度与位移关系的应用例1【分析】本题未给出飞船最后匀减速运动的时间，无法用a＝v－v0t求解，此时应考虑用不含时间t的公式v2－v20＝2ax求解．【解析】以初速度方向为正方向，由题意知v0＝10m/s，v＝0，x＝1.2m，由v2－v20＝2ax得a＝v2－v202x＝0－1022×1.2m/s2＝－41.7m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反．【答案】41.7m/s2，方向与初速度方向相反【方法总结】利用位移—速度关系式的解题方法：(1)选择匀变速直线运动的物体为研究对象，依据题意明确研究过程．(2)分析研究过程的初末速度v0、v以及加速度a、位移x，知道三个量可计算第四个物理量．(3)选择正方向，判定各量的正负，代入v2－v＝2ax来计算．变式训练1-1物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时速度为v，求位移为x3时的速度v′为多大？解析：由匀变速直线运动的位移与速度的关系式v2－v20＝2ax，又v0＝0，可得v2＝2ax即v∝x所以v′v＝x′x＝x/3x＝33位移为x3时物体的速度v′＝33v.答案：33v某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了在不同拉力下的A、B、C、D…等几条较为理想的纸带，并在纸带上每5个点取一个计数点，即相邻两计数点间的时间间隔为0.1s，将每条纸带上的计数点都记为0、1、2、3、4、5…，如下图所示的B、C、D三段纸带，分别是从三条不同纸带上撕下的．题型2Δx＝aT2的应用例2(1)在B、C、D三段纸带中，属于纸带A的是________．(2)打A纸带时，物体的加速度大小是________m/s2.【分析】求解此题应把握以下两点：(1)匀变速直线运动中，连续相邻相等时间内的位移差相等．(2)利用纸带计算加速度的基本公式是a＝ΔxT2.【解析】(1)由匀变速度直线运动规律可知Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝aT2，所以Δx＝x2－x1＝(6.11－3.00)cm＝3.11cm.x5＝x1＋4Δx＝(3.00＋4×3.11)cm＝15.44cm，所以纸带D的数据最接近，应和A是同一条纸带．(2)a＝ΔxT2＝3.11×10－20.12m/s2＝3.11m/s2.【答案】(1)D(2)3.11【方法总结】Δx＝aT2仅适用于匀变速直线运动中已知相同时间间隔T内位移或位移差的问题，此类题常见于匀变速直线运动的实验数据分析或频闪照片数据分析，xm－xn＝(m－n)aT2，其中xm和xn分别为第m个和第n个T时间内的位移．有一个做匀变速直线运动的质点，它在两个连续相等的时间间隔内通过的位移分别为24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度、末速度和加速度大小．解析：画质点的运动过程示意图如下图所示，物体由A经B到C，其中B是中间时刻所对应的位置．变式训练2-1基本公式法．如图所示，由位移公式得：x1＝vAT＋12aT2x2＝vA·2T＋12a(2T)2－vAT＋12aT2vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s.答案：1m/s21m/s2.5m/s2一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s末的速度为4m/s.求：(1)第6s末的速度；(2)前6s内的位移；(3)第6s内位移．【分析】此题最基本的解法是利用运动学公式，但运用初速度为零的匀加速运动的比例来解更为简单．题型3初速度为零的匀加速直线运动规律的应用例3【解析】(1)解法一：由v1＝at1得a＝v1t1＝44m/s2＝1m/s2则第6s末的速度v2＝at2＝6m/s.解法二：因v∝t，则第4s末与第6秒末的速度之比v1∶v2＝t1∶t2＝4∶6＝2∶3得v2＝6m/s.(2)解法一：前6s内位移x6＝12at2＝18m.解法二：第1s内位移x1＝12at2＝0.5m因x∝t2，则第1s内与前6s内的位移之比得x1∶x6＝1∶62，得x6＝36·x1＝18m.(3)第1s内与第6s内位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2n－1)＝1∶(2×6－1)＝1∶11，得第6s内位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5m.【答案】(1)6m/s(2)18m(3)5.5m【方法总结】对初速度为零的匀加速直线运动，充分利用比例式求解更加简捷、方便．一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s，试求：(1)第4s末的速度；(2)运动后7s内的位移；(3)第3s内的位移．变式训练3-1解析：(1)因为v0＝0，所以v＝at，即v∝t故v4∶v5＝4∶5第4s末的速度v4＝45v5＝45×6m/s＝4.8m/s.(2)因为v0＝0，v5＝6m/s则加速度a＝v5－0t＝6－05m/s2＝1.2m/s2，所以7s内的位移s7＝12at2＝12×1.2×72m＝29.4m.(3)第3s内的平均速度等于2.5s末的瞬时速度，与前5s的平均速度相等，即v3＝v52＝3m/s故第3s内的位移s3＝v3t＝3×1m＝3m.答案：(1)4.8m/s(2)29.4m(3)3m1.对于公式x＝v2－v202a，下列说法正确的是()A．此公式只适用于匀加速直线运动B．此公式适用于匀变速直线运动C．此公式只适用于位移为正的情况D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况解析：公式x＝v2－v202a适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误．当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误．答案：B2．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于()A．1∶8B．1∶6C．1∶5D．1∶3答案：A解析：由公式v2－v20＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，两式相除可得xAB∶xBC＝1∶8.3．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，该物体通过前一半位移和通过后一半位移所用时间之比为()A.2∶1B．2∶1C．(2＋1)∶1D．(3＋1)∶1解析：两段位移所用时间分别为t1、t2，则：x＝12at21①2x＝12a(t1＋t2)2②由①②解得t1＝2xa，t2＝(2－2)xa所以t1t2＝22－2＝2＋1.答案：C4．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，以T为时间间隔，物体在第2个T时间内位移大小是1.8m，第2个T时间末的速度为2m/s，则以下结论正确的是()A．物体的加速度a＝56m/s2B．时间间隔T＝1.0sC．物体在前3T时间内