24小波变换(my)数字图像处理

小波变换与多分辨率分析Gabor变换小波变换的基本概念多分辨率分析离散小波变换小波变换的应用时－频分析信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，以便突出信号中重要特性，简化运算的复杂度。大家熟知的Fourier变换就是一种刻划函数空间，求解微分方程，进行数值计算的主要方法和有效的数学工具。它可把许多常见的微分、积分和卷积运算简化为代数运算。第1节Gabor变换从物理意义上理解，一个周期振动信号可看成是具有简单频率的简谐振动的叠加。Fourier展开正是这一物理过程的数学描述。即：()()jtFftedt1()()2jtftFed（3—197）(3—198)Fourier变换的特点是域变换，它把时域和频域联系起来，把时域内难以显现的特征在频域中十分清楚地显现出来。频谱分析的本质就是对F(ω)的加工与处理。基于这一基本原理，现代谱分析已研究与发展了多种行之有效的高效、多分辨率的分析算法。由于，因此，频谱F(ω)的任一频率成份的值是由时域过程f(t)在－∞,+∞上的贡献决定的，而过程f(t)在任一时刻的状态也是由F(ω)在整个频域－∞,+∞的贡献决定的。1jte该性质可由δ(t)函数来理解，即时域上的一个冲激脉冲在频域中具有无限伸展的均匀频谱。f(t)与F(ω)间的彼此的整体刻划，不能反映各自在局部区域上的特征。只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此频率何时发生。章毓晋(TH-EE-IE)在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似之处。Gabor变换的定义在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达到的。换句话说，该变换是用一个窗函数g(t-τ)与信号f(t)相乘实现在τ附近开窗和平移，然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor变换的定义由下式给出：对于f(t)∈L2(R)(,)()()jtfftgtedtG是积分核。该变换在τ点附近局部测量了频率为ω的正弦分量的幅度。通常g(t)选择能量集中在低频处的实偶函数()jtgte（1）D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数，相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化功能。令窗口函数为)(tgaataeatg4/221)()(tga则有：式中a决定了窗口的宽度，的Fourier变换用表示。()aG相应的重构公式为：显然信号f(t)的Gabor变换按窗口宽度分解了f(t)的频谱F(ω),提取出它的局部信息。当τ在整个时间轴上平移时，就给出了Fourier的完整变换。为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。总之，对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，高频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小，时窗大。Gabor变换的缺点Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。但是Gabor变换已具备了平移功能，只是其相当于放大倍数固定的显微镜而已。在这方面J.Morlet为此作出了重大贡献。小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近20年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。第2节小波变换的基本概念信号和信息处理专家认为，小波分析是时间－－尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果与Fourier变换、Gabor变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。1.小波形如下式的函数称之为小波。,1()abtbtaa其中a为尺度参数，b是定位参数。小波的概念若a1，函数具有伸展作用；若0＜a1，函数具有收缩作用。而其Fourier变换则恰好相反。伸缩参数a对小波的影响见下图。小波随伸缩参数a平移参数b而变化如下图所示。abt,()())(,tbaabt,()abt,()a:a1;b:a=1;c:a1。)(tabba,小波的波形随参数变化的情形)(10,5.0tabtt,,()()2152)(ttetabtt,,()()215)(10,5.0t图中小波函数。当a=2,b=15时，的波形从原点向右移至t=15且波形展宽，a=0.5,b=-10时，则是从原点向左平移至t=-10处且波形收缩。)(t随着参数a的减小，的支撑区也随之变窄，而的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率，反之亦然。abt,(),()ab小波的选择既不是唯一的，也不是任意的。这里是归一化的具有单位能量的解析函数，它应满足如下几个条件：()t()t(1)定义域应是紧支撑的(CompactSupport)，换句话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就是函数应有速降特性。2.小波的特点(2)平均值为零，即：ttdtkNk(),,0011该条件也叫小波的容许条件(AdmissibilityCondition)其高阶矩也为零。()tdt0（6）（7）式中,是有限值C它意味着处连续可积2()Cd()()jttedt()00)()0(dtt（8）（9）上面两个条件可概括为：小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。由上式可以看出，小波在t轴上取值有正有负才能保证式上式积分为零。所以应有振荡性。()t()t小波变换的形式：dtabtatfdtttfbaWbaf1)()()(),(,aftLR02,()()设函数具有有限能量，即:)(tfftLR()()2（10）则小波变换的定义如下：其中，积分核就是函数族：如果是复变函数时，上式采用复共轭函数。abt,()abt,()abtatba1)(,对于所有的，，连续小波逆变换由式（11）给出。)(tf()()tLR2ftCaWabtdadbfab()(,)(),12(11)2()Cd其中图3加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较a)f7f8f9f6f5f4f2f3f频率恒定带宽(STFT)b)2f8ff4f频率恒定相对带宽(小波变换WT)图4Gabor变换特性（a）和小波滤波特性(b)图4显示了Gabor变换与小波变换的滤波特性。由图可见Gabor滤波是恒定带宽滤波，而小波滤波随着中心频率增加而带宽加大。可以这样理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号f(t)，ψ(t)代表镜头所起的所用。b相当于使镜头相对于目标平行移动，a的所用相当于镜头向目标推进或远离。由此可见，小波变换有以下特点：多尺度/多分辨的特点，可以由粗及细地处理信号；可以看成用基本频率特性为(ω)的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。适当地选择小波，使ψ(t)在时域上为有限支撑,(ω)在频域上也比较集中，就可以使WT在时、频域都具有表征信号局部特征的能力。小波变换的思想来源于伸缩和平移方法。尺度伸缩对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展，如图所示。1);sin()(attf21);2sin()(attf41);4sin()(attf小波变换的思想21);2()(attf41);4()(attf1);()(attf尺度与频率的关系尺度与频率的关系如下：小尺度a压缩的小波快速变换的细节高频部分大尺度a拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分时间平移时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如图所示。(1)选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐；(2)计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。小波运算的基本步骤：(3)将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长度，如图所示；(4)将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；(5)对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。小波变换的基本性质（1）线性小波变换是线性变换。设为的小波变换,Wabf1(,)ft1()则有:ftftft()()()12),(),(),(21baWbaWbaWfff(14)),(2baWf)(2tf为的小波变换,（2）平移和伸缩的共变性连续小波变换在任何平移b0之下是共变的，即：如果是小波变换关系，则也是小波变换关系。),()(baWtff),()(00bbaWbtff3）尺度转换若f(x)的小波变换为为，则的小波变换为(,)fWab(,)fabW()xf几种典型的一维小波小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的小波以供参考。该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时可得到：012112101)(其他tttH(12)（1）Haar小波HHttndtn()(),,,0012(13)其波形如图5所示：图5Haar小波（2）MexicoHat小波MexicoHat小波是Gauss函数的二阶导数，即：222)1(4132)(tett(13)MexicoHat小波也叫Marr小波，MexicoHat小波是实值小波0.867-2-1012x0sFTMarr小波及其频谱（3）Morlet小波Morlet小波是最常用的复值小波，它可由下式给出：22001422()tjtteee(3—237)其Fourier变换为：(3-238)22200()14222()eee52第3节多分辨率分析多分辨率分析（MRA，Multi-ResolutionAnalysis）－－现代信号处理中的一个重要的概念。例如，不同比例的地图就形成了一套典型的多分辨率图形：全国地图，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但无法分辨细节；城市地图，可以分清局部细节（街道、广场和公园等），但无法看到大特征。再如，照相机镜头不同拉伸（zoom）时形成的一套多