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第二十章非线性动力分析本书前面已经介绍了使用SAP2000进行线性动力分析的基本内容，线性动力分析主要任务是处理结构在多遇地震及一般动力荷载作用下的效应问题，在这阶段结构并没有进入到塑性发展阶段，因此结构的响应控制在线弹性的范围。根据我国规范提出的结构抗震设计中“小震不坏、中震可修，大震不倒”三个设防水准，以及弹性阶段承载力设计和弹塑性阶段变形验算的两阶段设计理论，进入到大震状态（罕遇地震）是允许结构构件出现塑性发展的，并且需要程序能够进行一定深度的弹塑性分析并给出相关的效应结果。此外，目前很多实际工程中已经开始使用隔振器、阻尼器等复杂保护装置，这些装置一般需要使用非线性连接单元去模拟，而线性时程分析不能够考虑非线性连接单元的非线性属性。综上所述，特定工程需要进行相关条件下结构的非线性动力分析，也要求程序能够完成这一分析。在SAP2000中可以进行非线性时程分析，在这一分析中可以考虑结构构件的塑性发展（塑性铰），可以考虑复杂的隔振器、阻尼器等非线性连接单元，也可以完成冲击、爆炸等复杂的动力荷载作用下结构效应分析，本章将结合这些非线性时程分析的具体问题阐述其定义方式及相关需要注意的问题。另外，需要注意的是，非线性时程分析本质上仍然是一种动力时程分析，不同之处在于它可以综合考虑结构中的非线性属性，因此部分参数选择和设置方式与线性时程分析是相同的，对于这类问题由于在线性时程分析中已经进行阐述，因此本章不会重复描述，本章的重点在于使用SAP2000进行非线性时程分析时所能够考虑的非线性属性及其意义。20.1非线性时程分析工况的定义及相关概念本章将分别介绍非线性时程分析的相关概念、快速非线性模态积分方法和几种常见的非线性分析类型。下面从非线性时程分析工况的定义出发，阐述非线性时程分析所涉及的几个基本概念。20.1.1时程函数的定义与线性时程分析相同，非线性时程分析首先需要定义时程函数曲线，定义方式与线性时程分析是相同的。如果需要进行罕遇地震作用下结构的非线性分析，需要选择地震波曲线，可以使用程序联机带有的常用地震波形式以及我国规范常用的几种场地状态下地震波曲线，可以通过峰值控制来得到罕遇地震的地震时程曲线。除了罕遇地震作用以外，作用于结构更复杂的动力荷载一般需要提供该作用的数据形式，或工程师根据荷载特征构建荷载作用的数据形式，比如一定的冲击荷载作用或爆炸荷载作用。对于这类荷载数据形式的形成和使用方式与线性时程分析中所描述的时程曲线形成的方式相同，对于几种典型动力作用的时程曲线我们在本章后面相关专题将会再次涉及到。20.1.2时程工况的定义与线性时程分析相同，完成时程函数曲线定义之后，需要定义非线性时程分析工况。当选择添加新工况并在分析工况类型下拉菜单中选择TimeHistory，可以弹出时程分析工况定义对话框。非线性分析工况定义对话框与线性时程分析对话框是相同的，见图20-1。图20-1时程工况定义对话框如果需要定义的是非线性时程分析，首先需要在分析类型选项中选择非线性分析类型。与线性时程分析相同，需要选择时程分析的类型，关于时程类型在线性时程分析已经进行了全面的阐述，其意义与线性时程分析相同，因此本章就不再进行赘述了。当选择为直接积分时，可以为该工况定义初始条件，初始条件的意义在线性时程分析中已经阐述，并且该节中也描述了在初始条件的定义中需要注意的问题。20.1.3积分方式和阻尼设置非线性动力分析中结构某些单元的属性随时间的变化可能是非线性的，或结构某一方面效应随时间的变化是非线性的，但是对于每一时刻结构系统的经典力学平衡方程仍然是成立的，因此传统的非线性求解方法仍然是通过每一个时程积分时刻的平衡方程进行求解的。与线性相同，非线性时程分析对于每一时刻的平衡方程的积分方式仍然分为两大类——模态积分和直接积分。对于直接积分方式，非线性时程分析所常用的积分方式与线性分析是相同的，这在本书的第十三章线性动力分析中已经给出了，本章不在重复叙述。对于模态积分方法，SAP2000程序采用了一种新的求解方法——FastNonlinearAnalysisMethod（快速非线性分析法），本章下一节将对这种方法进行介绍。非线性时程分析工况中对于不同的时程类型也需要进行相关的阻尼设置，这一点仍然与线性时程分析定义方式相同，相关内容可以参见第十三章。但是如果在结构中考虑非线性连接单元时，程序将允许单独定义非线性连接单元的阻尼属性，这些阻尼属性有时是随着时间发生非线性变化的，SAP2000程序将同时考虑结构非线性连接单元的阻尼属性和非线性时程工况阻尼属性，综合计算结构在动力分析中的阻尼效应。在非线性时程分析过程中，当选择时程类型为直接积分时，需要考虑并选择时程积分的方式。在非线性时程分析中时间积分方式可以选择的方式及其意义与线性时程分析相同，相关内容可以参见第十三章。值得一提的是，对于非常大的结构系统，把振型叠加和增量法结合起来对于具有少量非线性构件的系统是很有效的。SAP2000程序的新版本中已经加入了这种方法。20.1.4SAP2000非线性类型在使用SAP2000进行非线性时程分析之前还需要明确一个概念，即程序中可以考虑结构非线性属性的范围，目前SAP2000程序可以考虑的非线性属性可以根据性质分为四个类型：几何非线性、材料非线性、边界非线性和连接单元的非线性，这些类型也基本涵盖了结构分析所需要考虑的几种非线性类型。但是需要注意，并不是所有非线性时程分析类型都可以考虑这些非线性类型，不同的时程类型所能够考虑的非线性的类型是不一样的，这一点在后面的内容中会进一步说明。几何非线性主要是指P-△效应、几何大变形分析等与结构几何性质相关的非线性。传统意义上的线性静力和动力分析都是以结构小变形假设为基础的，这对于一般结构体系是适用的，但是对于大跨度或柔性结构体系一般就不适用了。几何非线性主要任务是在这一假设与实际结构相差比较大的情况下，考虑真实大变形的情况。材料非线性主要是指构成建筑结构材料属性所带来的结构非线性，对于建筑结构常用的钢材和混凝土材料，其应力-应变在一定应力范围内表现基本是线性的，这是我们常规结构分析和设计的基础，而当应力超过这一范围后则会表现出很强的非线性属性，因此结构材料承载力特性总体上就会表现为非线性属性，结构材料的非线性还包括有些时候在结构分析中考虑的单拉或单压结构材料单元。边界非线性指的是边界接触问题，比如常见的缝隙问题和边界连接问题，可以使用SAP2000的缝隙单元或钩单元来实现。连接单元的非线性主要是指结构设计中考虑附加的阻尼器和隔振器等装置的非线性属性，这类结构单元不仅表现为非线性的属性，而且还可以通过滞回曲线的定义考虑单元往复加载过程中的塑性发展和能量耗损特性。需要说明的是，对于材料非线性的考虑和实现，SAP2000目前仅限于框架单元（梁、柱及支撑），并没有给出面单元（比如剪力墙）以及实体单元的塑性破坏模型。此外，对于框架单元的材料非线性是体现在塑性铰属性的，也就是当单元截面内力大于该截面的承载力极限时，该截面将会卸载直至表现为铰接的形式，这一内容将在后面相关的小节中进行讨论。对于单拉、单压，包括索单元的单拉属性，是需要在框架属性定义中进行相关定义并进行考虑的。在一定的单元范围内，SAP2000对于这四个类型的非线性都能够考虑，而且均能够在非线时程分析中进行考虑。但是对于模态积分和直接积分两种积分方式的非线性分析所能够考虑的非线性属性是不一样的。当使用模态积分非线性时，只能考虑结构中边界及连接单元的非线性，包括缝、钩、弹簧非线性连接单元和阻尼器隔振器等非线性连接单元。而当使用直接积分非线性分析时，可以考虑全部四种类型非线性形式。当选择模态积分类型非线性时程分析工况时，程序将默认选择考虑非线性连接单元的非线性，而且这一选择是不能够进行自定义修改的。当选择直接积分类型非线性时程分析时，程序将默认选择考虑所有材料非线性和连接单元非线性，并且也是不能够进行修改，但是对于P-△效应和几何大位移的几何非线性，工程师可以进行选择考虑或不考虑，程序默认是不进行考虑的。此外需要注意，在两种积分方式中，非线性属性列表中时间相关的材料属性始终不会被选中，由于这一内容涉及到施工阶段混凝土材料属性龄期相关的非线性变化，而这一点在时程分析中是没有意义的，因此非线性时程分析不考虑这一属性。这一属性在另一种非线性静力分析——施工顺序加载分析中进行考虑的，也仅在这一分析工况中才考虑。20.2快速非线性分析（FNA）方法传统非线性模态积分求解方法是在每个荷载增量时形成完全的平衡方程并进行求解，也就是我们所说的“蛮力方法”（“bruteforcemethod”）。这种方法每个时间步长对全部结构系统重新形成刚度矩阵，并在每个时间增量内要求通过迭代来满足平衡要求，因此即使是规模不大的结构也需要耗费大量的时间来计算。SAP2000程序，以及CSI公司推出的另外一套针对于建筑结构有限元分析和设计软件ETABS没有采用“蛮力方法”进行非线性分析，而是使用了一种新的非线性分析方法——FastNonlinearAnalysisMethod（快速非线性分析法），简称FNA方法。本节的主要内容是对FNA法进行较为全面的介绍，这一新的方法的主要优势在于运算速度，一般情况下，它可以比传统的方法快几个数量级。下面我们就从基本平衡方程出发，对FNA法进行简要的介绍，相关内容也可以从Wilson所著的其它程序理论书籍中查阅。20.2.1基本平衡方程虽然解决的是非线性问题，但是对于每一时刻基本力学方程，包括平衡、力-变形和协调性等要求，FNA法也是满足的。在t时刻，结构计算模型精确的力平衡由下列矩阵方程表示：)()()()()(tttttNLRRKuuCuM(20.1)对于方程（20.1），我们可以看出其与结构二阶线性微分方程组（11.2）是很相似的，不同之处，引入了RNL(t)项，该项是来源于非线性单元力总和的整体节点力向量，是通过在每个时间点上的迭代计算出来的。除此之外，需要指出的是方程中K为弹性刚度矩阵，因此它忽略了非线性单元的刚度。对于添加了非线性连接单元的模型，一般情况下也是需要作一定的线性分析的。在作线性分析时，非线性单元的属性将被忽略，这时结构模型可能是不稳定的，因此考虑这一情况，可在非线性单元的位置添加任意刚度的“有效弹性单元”，来考虑非线性单元在线性分析工况中的属性。如果在方程(20.1)的两边加上这些有效力Keu(t)，精确的平衡方程可写为：)()()()()()()(tttttteNLeuKRRuKKuCuM(20.2)其中Ke是任意值的有效刚度。方程（20.2）可以改写为下列形式：)()()()(ttttRuKuCuM(20.3)弹性刚度矩阵K等于eKK，并且是已知的。有效外部荷载)(tR等于R(t)-R(t)NL+Keu(t)，必须以迭代方式计算。如果对有效弹性刚度进行较好的估计，收敛速度就可能会加速，这是因为未知的荷载项-R(t)NL+Keu(t)很小。在任何时刻，非线性单元内的L个非线性变形d(t)可从下面的位移变换方程计算出来，并且可以推导出非线性变形中与时间相关的变化率)(td：(t)tbud)((t)tubd)((20.4)如果所有非线性单元中的时程变形和速度是已知的，在任何时刻非线性单元的非线性力f(t)可由每个非线性单元的非线性材料属性精确地计算出来。并且非线性力只能通过在每个时间点上的迭代来完成。20.2.2非线性模态方程的形成与线性二阶微分方程的求解类似，求解方程(20.3)的第一步是要计算一组N个正交荷载相关的Ritz向量Φ，使其满足下列两个方程：I=MΦΦT2T=ΩΦKΦ(20.5)其中I为单位矩阵，而Ω2为对角矩阵，在该对角矩阵中，对角项被定义为ω2m。系统的响应现在可以通过引入下面的矩阵变换用向量来表示：)()()()()()(t=tt=tt=tYΦuYΦuΦYu(20.6)把这些方程代入方程式(20.1)并在方程式两边同乘以ΦT，这将产生一组可由下面矩阵方程表示