24连续随机变量

12.4连续型随机变量(){}()＝＝xFxPXxfudu定义设X是随机变量,F(x)是它的分布函数.若存在一个非负可积函数f(x)(－x＋),使得则称X是连续型r.v.,f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)一、连续型r.v.的概念由定义可知,连续型随机变量的分布函数是连续函数,是密度函数的变上限的定积分.()()dFxfxdx由上式可得，在f(x)的连续点,2(2)规范性()1.fxdx＝Th1(密度函数的特征性质)(1)非负性f(x)0,(－x＋);注1改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影响公式(2)规范性,故对固定的分布函数,概率密度函数不唯一.注2满足上述两条性质的函数必是某一随机变量的密度函数.故常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r.v.的p.d.f.(求f(x)中未知参数!)3Th2设连续型r.v.X的分布函数(c.d.f.)为F(x),概率分布密度函数为f(x),则()()dFxfxdx(2)若x是f(x)的连续点,则(1)F(x)为连续函数;(3)对任意实数c,则P{X=c}＝0.因为:(4)00{}lim{}lim()0cxcxxPXcPcXcxfxdx{}{}{}{}()()()baPaXbPaXbPaXbPaXbFbFafxdx可见,密度函数全面描述了连续型随机变量的规律.(——求F(x)中未知参数!)4注1.几何意义:{}()＝baPaXbfxdx它是以(a,b]为底,以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形的面积.面积为1f(x)注2.由P(A)=0不能推出A=φ;由P(B)=1不能推出B=Ω.注3.当Δx很小时,{}()()PxXxxFxxFx＝()fxx5()xfxae2设随机变量X的概率密度为求常数a.12a1证明()1/2xfxe为概率分布密度函数.()fxdx0122xedx0xe1证★密度函数值f(a)并不反映X取a值的概率.但这个值越大,X取a附近值的概率就越大.也可以说,在某点密度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度.61)求X的分布函数F(x);2)求P{0.5X1.5}01()2120xxfxxx其它解：例1.已知随机变量X的概率密度为当x0时,F(x)=当0x1时，(())xfxFxdxf(x)是分段函数,求F(x)时要分段求.()xfxdx=0002012xtdxxtd0xdx7P{0.5X1.5}=当1x2时,(())xfxFxdx21212xx当x2时,(())xfxFxdx220,01/2,01()1/221,121,2xxxFxxxxx必然事件!=110100(2)xtdttddtxF(1.5)-F(0.5)=3/48(32)()0Axxfx02x其他{11}PX()1fxdx20(32)1Axxdx112A101110{11}()()()PXfxdxfxdxfxdx1011(32)126xxdx例2.设X的密度函数为试确定常数A,并求解：9例3.设随机变量X的分布函数为20,0(),011,1xFxAxxx(1)求常数A的值;(2)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率;(3)求X的概率密度.解:22(2){0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF2,0(3)(),10xxFx其它定义f(1)＝2,则21,0()0,其它xxfx1lim()1xFxA(1)∵F(x)为右连续函数10二、几个常用的连续型分布则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)1.均匀分布U(a,b)若r.v.X的p.d.f.为1,()0axbfxba，其它。。f(x)abx0111注2均匀分布的特征性质：X服从均匀分布U(a,b)的充分必要条件是(1)X落在(a,b)概率为1,落在区间外的概率为0;(2)X落在(a,b)子区间上概率与子区间长度成正比.1{}()ddccdcPcXdfxdxdxbaba===注1对任意实数c,d(acdb)，都有说明r.v.X落在(a,b)区间上任一点的可能性都相同.注3均匀分布的分布函数：120,(),,1,xaxaFxaxbbaxbP40例131,()0axbfxba，其它当x≤a时,F(x)=当ax≤b时，(())xfxFxdx()xfxdx=010aaxxadtbaxadb当xb时,(())xfxFxdx必然事件!=1F(x)abx010xdx13}6055{}4525(}1510{)(XPXPXPAP1545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)21605205例4.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率.142.指数分布则称X服从参数为0的指数分布.x)x(f0{(})PFXxx()Exp,0()0,0xexfxx＝若r.v.X的p.d.f.为00,0,0xxedxxx=0,0()1,0xxFxex=0xxe0:()0,()1易验证xfxfxdxedx其分布函数:15例5.电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布.(1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用两年的概率.解330()00xexfxx362(1){2}3xpXedxe(2){3.5|1.5}pXX30,0()1,0xxFxex=1－F(2){3.5,1.5}{1.5}pXXX33.531.533xxedxedx1－F(3.5)1－F(1.5)3(3.51.5)ee－6非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件是:无记忆性16例6.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。解当t≤0时，当t0时，=1-{在t时刻之前无汽车过桥}te1于是000)(')(ttetFtft(){}!ttkPXketkF(t)=P{T≤t}F(t)=0F(t)=P{T≤t}=1-P{Tt}=1-P{Xt=0}173.Gamma分布1()(0)()~(,)xfxxexX＝(,)10()xxedx(1)()()(1)!(1/2)nn说明(,1)()Exp其中——α=1的Γ分布即为参数为λ的指数分布E(λ)18正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广,所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面.4.正态分布19(I)正态分布的定义若X的p.d.f.为22()21()2xfxex则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2),为常数,0亦称高斯(Gauss)分布22()2?112xedx20(II)正态分布密度函数图形特点2(,)N22()21()2xfxef(+x)=f(-x)在x=时,f(x)取得最大值12曲线y=f(x)在x=±对应点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状(钟形曲线)关于直线x=对称,即中间大两头小212)决定随机变量取值的分散程度,固定,图形由确定:1)决定图形的中心位置，固定,图形形状不变,改变,图形平移.越大,图形越扁平,X落在附近概率越小,即取值越分散;越小,图形越尖峭,X落在附近概率越大,即取值越集中.22实例年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。23下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布.24人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。25除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.26xdtexFxt,)()(22221(III)、设X~,),(2NX的分布函数是27一种重要的正态分布xexx2221)(是偶函数，分布函数记为xtexxtd21)(22其值有专门的表供查（P.239）当μ=0,σ=1时，称X服从标准正态分布记为X~N(0,1)密度函数281?2122dtetx-3-2-11230.10.20.30.4)(x)(x面积为1295.0)0(-3-2-11230.10.20.30.430-xx)(1)(xx(?)1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4P{-aXa}=Φ(a)－Φ(-a)=Φ(a)－[1－Φ(a)]31解1.4,2,11PXPXPX1.4(1.4)0.9192,PX2PX11PX例7.设X～N(0,1),查表计算P239附表120PXX或20PXPX1(2)(0)0.52281(2)1[1(2)]=0.977232对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数22()21()d2txFxet作变量代换ts()xFx()()()PaXbFbFa()1()PXaFaba1a即：~N(0,1)XY33例8.设X~N(1,4),求P(0X1.6)解210216.1)6.10(XP5.03.00.3[10.5]P239附表1=0.6179-(1-0.6915)=0.309434例9.已知),2(~2NX且P(2X4)=0.3,求P{X0}.解.20)0(XP212224)42(XP)0(23.08.02{0}0.2PX35由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，3准则P{|X|3}=2(3)-1=0.9974P{|X|1}=2(1)-1=0.6826P{|X|2}=2(2)-1=0.954436将上述结论推广