29-新定义问题

新定义问题填空题（2016东城二模）15．定义运算“*”，规定x*y=a（x+y）+xy，其中a为常数，且1*2=5，则2*3=．（2016西城二模）16．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把P（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．（1）点（12，32）的“双角坐标”为______________；（2）若点P到x轴的距离为12，则m+n的最小值为__________．压轴题（倒一）（2016东城二模）29.定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数2x，12x，205x中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1,3），动点M（m，m）.①直接写出△ABM的面积，其面积是；②若以M为圆心的圆经过BA,两点，写出点M的坐标；③以②中的点M为圆心，以2为半径作圆.在此圆上找一点P，使22PAPB的值最小，直接写出此最小值.（2016西城二模）29．给出如下规定：在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形1W和2W，若在图形1W和2W上分别存在点M（1x，1y）和N（2x，2y），使得P是线段MN的中点，则称点M和N被点P“关联”，并称点P为图形1W和2W的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足122xxx，122yyy．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)ABCD，连接AB，CD．①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为__________；②线段AB和线段CD的一个“中位点”是1(2,)2Q，求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R（－2,0）和抛物线1W：22yxx，对于抛物线1W上的每一个点M，在抛物线2W上都存在点N，使得点N和M被点R“关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W；（3）正方形EFGH的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)EFGH，⊙T的圆心为(3,0)T，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．图1图2（2016海淀二模）29.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零.例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1.R（1）分别判断函数1yx，1yx，2yx有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数22yxbx.①若其不变长度为零，求b的值；②若13b，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数22()yxxxm的图象为1G，将1G沿x=m翻折后得到的函数图象记为2G.函数G的图象由1G和2G两部分组成，若其不变长度q满足03q，则m的取值范围为.（2016朝阳二模）29．P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PAPB的值称为点P关于⊙O的“幂值”．（1）⊙O的半径为5，OP=3．①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为________；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围．（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围________；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为4，若在直线33yxb上存在点P，使得点P关于⊙O的“幂值”为13，请写出b的取值范围________．图1POBAO备用图（2016石景山二模）29．在平面直角坐标系xOy中，对图形W给出如下定义：若图形W上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．（1）已知点)3,0(A，)1,1(B，在点)0,2(C，)0,1(D，)2,2(E中，选一点，使得以该点及点A，B为顶点的三角形的坐标角度为90°，则满足条件的点为；（2）将函数2axy)31(a的图象在直线1y下方的部分沿直线1y向上翻折，求所得图形坐标角度m的取值范围；（3）记某个圆的半径为r，圆心到原点的距离为l，且)1(3rl，若该圆的坐标角度9060m．直接写出满足条件的r的取值范围．（2016昌平二模）29.已知四边形ABCD，顶点A，B的坐标分别为（m，0），（n，0），当顶点C落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD”，顶点C称为“轴曲顶点”.小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数为y=2x时进行了相关探究.（1）若轴曲四边形ABCD为正方形时，小明发现不论m取何值，符合上述条件的轴曲正方形只有．．两个，且一个正方形的顶点C在第一象限，另一个正方形的顶点C1在第三象限.①如图1所示，点A的坐标为（1，0），图中已画出符合条件的一个轴曲正方形ABCD，易知轴曲顶点C的坐标为（2，1），请你画出另一个轴曲正方形AB1C1D1，并写出轴曲顶点C1的坐标为；OxyDCBA–1–2–312312345②小明通过改变点A的坐标，对直线CC1的解析式y﹦kx＋b进行了探究，可得k﹦，b（用含m的式子表示）﹦；（2）若轴曲四边形ABCD为矩形，且两邻边的比为1∶2，点A的坐标为（2，0），求出轴曲顶点C的坐标．1214-34-1-4-3-2O-55-55备用图x-1-23-432yy23134-34-1-4-3-2AxOBD图15-55-5C-1-2431-42（2016通州二模）29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点'P为射线．．CP上一点，满足2r'CPCP，那么称点'P为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点'P的示意图．(1)如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M(1，0)，N（0，2），T（21，21）关于⊙O的反演点'M，'N，'T的坐标；(2)如图2，已知点A(1，4)，B(3，0)，以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D(点C位于点D下方)，E为CD的中点．如果点O，E关于⊙G的反演点分别为'O，'E，求∠GO''E的大小.211yxOMTN图1yxOABDCGE图2xyP'CP（2016顺义二模）29.在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C给出如下定义：若⊙O上存在两个点A，B，使得60APB，则称P为⊙C的关联点.已知点11(,)22M，(2,0)N，(0,4)E，(23,0)F（1）当⊙O的半径为1时，①在点M，N，E，F中，⊙O的关联点是；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使30GFO，若直线l上的点(,)Pmn是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是半径为r的⊙O的关联点，求半径r的取值范围.（2016丰台二模）29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，－1）.点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线4x分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点．（1）请判断P1（－4，0），P2（3，0）是否为理想点；（2）若直线3x上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线(0)xmm上存在理想点，直接写出m的取值范围.（2016房山二模）29.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）如图29—1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图29—2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，2ACAB=.试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．DABCDCBA（2016怀柔二模）29．已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[-1.2]=-2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x-[x].(1)当x=2.15时，求y=x-[x]的值;(2)当0x2，求函数y=x-[x]的表达式，并画出函数图象;(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x-[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．（2016平谷二模）29．如果一条抛物线20yaxbxca与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），顶点为P，连接PA，PB，那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）；（2）若抛物线20yxbxb的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值；（3）若△PAB是抛物线2yxc的“抛物线三角形”，是否存在以点A为对称中心的矩形PBCD，若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．图29—1图29—22（2012•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．Oyx-6-5-4-3-2-1654321-11-2-3-4-52345Oyx-6-5-4-3-2-1654321-11-2-3-4-52345备用图考点：一次函数综合题。710842分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值；②∵|﹣﹣0|≥|0﹣2|，所以点P1与点P2的“非常距离”为②|﹣﹣0|=；（2）①设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（﹣，）．解答思路同上．