2015年走向高考高考数学理总复习课件(北师大版)2-3

基础达标检测一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1xD．y＝x|x|[答案]D[解析]本题考查了函数的性质．因为y＝x|x|＝x2x≥0－x2x0，是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.解答本题可用排除法，选项A不具备奇偶性，选项B在(－∞，＋∞)上是减函数，选项C在(－∞，＋∞)上不具备单调性．2．下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]①错误，如函数f(x)＝1x2是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．3．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2[答案]A[解析]本题考查了函数的奇偶性与函数值的概念．因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12＋11)＝－2，故选A.4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是()[答案]B[解析]本小题考查函数的图像，奇偶性与周期性．y＝f(x)为偶函数，周期T＝2.5．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x10，x20，且|x1||x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)0B．f(x1)＋f(x2)0C．f(－x1)－f(－x2)0D．f(x1)－f(x2)0[答案]D[解析]∵x10，x20，|x1||x2|，∴0－x1x2，又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)f(x2)，又f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x1)f(x2)．∴f(x1)－f(x2)0.选D.6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝ex－e－x2，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R[答案]B[解析]本题考查函数奇偶性，单调性，采用排除法．y＝ex－e－x2是奇函数，y＝x3＋1是非奇非偶函数，而y＝cos2x在(1,2)上是先减后增的，选B.二、填空题7．(文)若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝______.[答案]12[解析]考查函数的奇偶性．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即12－1－1＋a＝－12－1－a，∴a＝12.(理)若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.[答案]±1[解析]解法1若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k＝1；若定义域中不包含0，则k＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．解法2由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.[点评]解此题时，容易受习惯影响漏掉k＝－1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因．8．(2013·全国大纲)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.[答案]－1[解析]本题考查函数的周期性，转化与化归思想．f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.9．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝1＋fx1－fx，若f(1)＝2015，则f(103)＝________.[答案]－12015[解析]∵f(x＋1)＝1＋fx1－fx，∴f(x＋2)＝1＋fx＋11－fx＋1＝1＋1＋fx1－fx1－1＋fx1－fx＝－1fx.∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.∵f(1)＝2015.∴f(103)＝f(25×4＋3)＝f(3)＝－1f1＝－12015.三、解答题10．(文)已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)3，求a，b，c的值．[解析]由f(－x)＝－f(x)，得－bx＋c＝－(bx＋c)，∴c＝0.又f(1)＝2，得a＋1＝2b，而f(2)3，得4a＋1a＋13，解得－1a2，又a∈Z，∴a＝0或a＝1.若a＝0，则b＝12∉Z，应舍去；若a＝1，则b＝1∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.(理)已知f(x)＝x－ax2＋bx＋1是奇函数．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间，并加以证明；(3)求f(x)(x0)的最值．[分析]利用f(－x)＝－f(x)求a，b的值．[解析](1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即x－ax2＋bx＋1－x＋ax2－bx＋1＝0恒成立，则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．∴a＝b＝0.(2)∵f(x)＝xx2＋1(x∈R)是奇函数，∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2x22＋1＝x2－x1x1x2－1x21＋1x22＋1.∵x21＋10，x22＋10，x2－x10，而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－10，∴当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)0，函数y＝f(x)是增加的；当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)0，函数y＝f(x)是减少的．又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的．又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值.∴f(1)＝12，∴函数的最大值为12，无最小值．[点评](1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值.能力强化训练一、选择题1．(文)(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数[答案]D[解析]本题考查的是分段函数．∵f(x)＝x－[x]，[x]表示不超过x的最大整数，∴f(x)＝…x＋3x∈[－3，－2x＋2x∈[－2，－1x＋1x∈[－1，0xx∈[0，1x－1x∈[1，2x－2x∈[2，3…如图：由图可知f(x)为周期函数，故选D.(理)(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B．(0，12]C．[12，2]D．(0,2][答案]C[解析]因为log12a＝－log2a，所以f(log2a)＋f(log12a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2，故选C.2．(文)函数f(x)＝4x＋12x的图像()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称[答案]D[解析]∵f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称．(理)已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．以上都有可能[答案]A[解析]由x1＋x2＜0，得x1＜－x2.又f(x)为减函数，∴f(x1)＞f(－x2)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x1)＞－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)＞0.同理f(x2)＋f(x3)＞0，f(x1)＋f(x3)＞0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＞0.二、填空题3．(文)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.[答案]4[解析]本题考查二次函数、偶函数概念．由f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数知其对称轴x＝－a－42＝0，即a＝4.(理)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f(32)＝________.[答案]32[解析]f(32)＝f(32－2)＝f(－12)＝f(12)＝32，利用周期和奇偶性把所求函数函数值转化到已知的解析式下是解决此类问题的通法．4．(文)函数f(x)＝x＋ax2＋bx＋1在[－1,1]上是奇函数，则f(x)的解析式为________．[答案]f(x)＝xx2＋1[解析]∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝0，即a＝0，即f(x)＝xx2＋bx＋1，又f(－1)＝－f(1)，∴－12－b＝－12＋b，解得b＝0，则f(x)＝xx2＋1.由于f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，符合题意．(理)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x0时，f(x)＝x＋4x，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．[分析]该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力．[答案]1[解析]因为函数f(x)＝x＋4x在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当x∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数y＝f(x)为偶函数，故当x∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则m－n的最小值是1.三、解答题5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)f(m)，求实数m的取值范围．[解析]由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，因此f(1－m)f(m)等价于－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，|1－m||m|.解得：12m≤2.因此实数m的取值范围是(12，2]．6．(文)已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是递减的；(3)如果x0时，f(x)0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．[解析](1)∵函数定义域为R，∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x1x2，且x1、x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x10，∴f(x2－x1)0.∴f(x2)－f(x1)0.即f(x)在R上单调递减．(3)由(2)知f(x)在[－2,6]上为减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所以f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.(理)已知函数y＝f(x)的定义域为R.且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)＝－3.(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数