2分段函数

2分段函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同.你能画出函数的图象吗？yx-2-30123xy12345-1x,x0yx,x01．通过具体实例，了解简单的分段函数及其应用.（重点）2．能够用列表法、图象法、解析法三种方法表示分段函数.（难点）01212,[,],(,]xxyxx探究：已知一个函数y=f(x)的定义域为区间[0，2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y=x,当x∈(1,2]时，对应法则为y=2-x，试用解析法与图象法分别表示这个函数.解：已知的函数用解析法可表示为是一个函数，不是两个用图象表达这个函数，其图象由两条线段组成，如下图所示：xyo112注意区间端点的取舍像这样的函数，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.总结：对分段函数的理解应注意以下三点：（1）分段函数虽然解析式分成“若干段”，但仍是一个函数，而不能说是几个函数．（2）画分段函数的图象时，一定要注意是否包含区间端点，若包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.（3）写分段函数定义域时，区间端点应不重不漏.例1在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg（0＜x≤100)的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解：设每封信的邮资为y,则y是信封重量x的函数，这个函数关系的表达式为8002016020402404060320608040080100,(,],(,](),(,],(,],(,]xxfxxxx函数的值域为{80,160,240,320,400}.根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图，这个函数的图象如下图所示：分/yx/go·○·○·○·○·○2040608010080240160400320区间端点应不重不漏点评：（1）本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；（2）本例也可用列表法表示函数，列表如下：（3）由此例可以看出，分段函数是一个函数，自变量所在区间变化，对应关系也随之变化.因此，它也可以用列表法、解析法、图象法表示.信函质量x(单位：g)0＜x≤2020＜x≤4040＜x≤6060＜x≤8080＜x≤100邮资y（单位：分）80160240320400【变式训练】某汽车以52km/h的速度从A地运行到260km远处的B地，在B地停留1.5h后，再以65km/h的速度返回A地.试将汽车离开A地后行走的路程S表示为时间t的函数.【分析】因行驶速度不一样，故S与t的关系需用分段函数表示.【解】因为行驶速度不一样，可考虑分段表示,260÷52=5(h),260÷65=4(h).【评析】解决数学应用题的一般步骤：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，经过去粗取精，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得出数学结论，最后把数学结论（结果）返回到实际问题中.52t,0t513S260,5t213132126065(t),t222所以例2求函数的最大值.分析：根据分段函数的解析式，先分别求其在每一段上的最大值，最后取所有最大值中最大的那个值作为整个分段函数的最大值.43030151,(),,xxfxxxxx，，.解:当当时，当时，综上有max0()(0)3xfxf时，，01xmax()(1)4fxf==，1x()5154.fxx=-+-+max()4.fx=【提升总结】方法技巧：求分段函数的值域、最值问题，通常有两种方法：1.直接利用我们熟悉的函数的性质，求出分段函数在每一段上的值域，然后取并集.2.数形结合，先画出分段函数的图象，然后通过图象，直接得出其值域.【变式训练】已知函数f(x)的解析式为：（1）求的值.（2）画出这个函数的图象.（3）求f(x)的最大值.3x5,x0,f(x)x5,0x1,2x8,x1.31f(),f(),f(1)2π...333(1)∵1,∴f()=(-2)+8=52221115π+1∵01,∴f()=+5=ππππ∵-10,∴f(-1)=-3+解5=2：（2）如图，在函数y=3x+5图象上截取x≤0的部分，在函数y=x+5图象上截取0x≤1的部分，在函数y=-2x+8图象上截取x1的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.（3）由函数图象可知,当x=1时，f(x)的最大值为6.例3已知函数求221122,,(),,2,,xxfxxxxx(((3))).fff-分析：由题目可获取以下主要信息：（1）函数f(x)是分三段的分段函数.（2）本例是求函数值的问题，从里向外“三层”,可逐层求解.解：∵－3＜－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1,∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，∵－112，∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.【技巧点拨】(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．【变式训练】已知求f(f(f(3)))21,2,2(),22,4,2,xxfxxxxx【解】∵3∈［2,+∞),∴f(3)=32-4×3=-3.∵-3∈(-∞,-2］,∴f(f(3）)=f(-3)=×(-3)=.∵∈(-2,2),∴f(f(f(3)))=f()=π.12323232一、选择题x,x,.f()()f(x),x,A.B.C.D.4613261234已知f(x)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：C2.f(x)＝2x，x0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3B．－1C．1D．3【解】由已知，得f(1)＝2；又当x0时，f(x)＝2x1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，∴a≤0，∴a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.答案：AababfabfxabAaBbCabDab1,ｘ0,()()3.设函数()0,x=0,则()21,ｘ0,的值应为（).　　.　　.,之中较小的数　　.,之中较大的数当时，-0,(-)1,原式;当时，-0,(-)-1,原式.解：答案：ababfabaababfabbD【解】当a0时，f(1－a)＝2－2a＋a＝－1－3a＝f(1＋a)，a＝－320，不成立；当a0时，f(1－a)＝－1＋a－2a＝2＋2a＋a＝f(1＋a)，a＝－34.【答案】－34二、填空题4.已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．xfxfxx2002,ｘ２,5.已知函数()则(4)______,2,ｘ2,若)8,则________.f(x2220000f(-4)=(-4)+2=18,又当x≤2时，x+2∈2,+∞,当x2时，2x∈4,+∞,f(x)=8,∴x+2=8或2x=8解：答案：,∴x=-6或4.18　　－6或46.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)三、解答题60,0x201200x,20x20033【解】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x20时，f(x)为增函数，f(x)60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)=-13(x2-200x)=-13[(x-100)2-10000].60x,0x201x(200x),20x2003所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．7．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y元与里程x公里之间的函数解析式,并画出函数的图象．解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量的取值范围是(0,20］,由票价制定规则,可得到以下函数解析式：≤≤≤≤2,05,3,510,4,1015,5,1520.xxyxxy5x10152012345O图象为：2.表示函数的式子可以不止一个，对于分几个式子表示的函数，不是几个函数，而是一个分段函数.3.在学习过程中反复强调分段函数研究的方法：分段解决，并且要对结果进行整合，体现了分类整合、数形结合的思想。另外也要注意自变量的取值在分段函数问题中的作用.1.这节课主要学习了分段函数的表示法及其应用.成功和失败本是同一片旷野，它是会令你溺水的深潭，也是能为你解渴的甘泉。