2动能定理

1§2动能定理（一）基础知识一、动能定理1、内容：合力所做的功等于物体动能的变化。2、表达式：W=EK2-EK1。3、说明：动能定理是对单一物体（可视为质点），应用牛顿运动定律推导得到的，所以动能定理的应用条件要满足一是质点，二是在同一惯性参照系。在非惯性系中，质点动能定理除了考虑各力做的功外，还要考虑惯性力做的功，其总和对应于质点动能的改变。此时功和动能中的位移、速度均为相对于非惯性参照系的值。二、质点系的动能定理对于质点系中的任一质点mi，它所受合外力有质点系外部施与的力F系外和质点系内部其它质点施与的力F系内构成，相应的功也有两份，WW系外i系内i、，应用动能定理得2201122itiWWmvmv系外i系内i（i=1，2，3，4-----n）求和得2201122itiWWmvmv系外i系内i，即W外+W内=ΔEK系统。这表明在某一过程中质点系的全部外力和内力做功之和等于该质点系动能的增量，这称为质点系的动能定理或系统的动能定理。质点系的动能定理同样只适用于同一惯性参照系。三、质点系的功能原理因为W内=W内保+W内非保，W内保=系PE，所以系统动能定理变形为W外+W内非保=ΔEK系统+系PE=机E特例，如果外力和非保守力都不做功，则机E=0，故系统动能定理变为系统机械能守恒定律。（二）典型例题[例题1]某地强风的风速约为v=20m/s，设空气密度为ρ=1.3Kg/m3，如果把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率应为多少瓦？（取一位有效数字）[解])(10)20(203.12121533WSvtEPk[题后小结][例题2]如图所示，质量为m的物体可沿竖直轨道A、B上下运动，物体正下方放置一轻弹簧。物体与轨道间的最大静摩擦力与动摩擦力都是mgf21。现在，物体从距弹簧为a的高处由静止开始下滑。试求(1)物体下滑达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系；(2)物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系。[解](1)将物体下落达到的最低位置用弹簧下压距离s表示，如图所示。据功能原理有221)(21)(ksdsmgdsmg2可解得)4(2122kdmggmmgks(2)反弹高度用图所示h量表示。ⅰ）0h此种情况对应mgmgks21将s表述式代入后，可解得dmgk4/3ⅱ)sh0据功能原理有mghmghhskks21)(212122可解得mgksh32将s表述式代入后，可得)24(122mgkdmggmkh要求sh0，即smgks320可得mgksmgk323将s表述式代入后，即得这种情况发生的条件为dmgkdmg/64/3特例：dmgk/6时，有)4(2122kdmggmmgkshdmgk/6反弹量为2/dhⅲ）sh条件即为dmgk/6据功能原理有2/2/2mghmghks由(1)问的解，可得2/)(2/2dsmgks即有3/)(dsh或dkdmggmmgkh)4(213122综上所述，有dmgk4/3时h=0dmgkdmg/64/3时)24(122mgkdmggmkhdmgk/6时2/dhdmgk/6时dkdmggmmgkh)4(213122[题后小结][例题3]两个质量均为m的刚性小球，用长为2l的不可伸长的绳连接起来放置于光滑水平面上，绳恰好被拉直。现用一垂直于细绳的水平恒力F作用于绳的中点，拉动处于静止状态的小球，如图所示。问小球在第一次相碰前的瞬间，两小球在垂直于恒力方向上的分速度各是多大？F3[解]设F作用线的方向为x方向，当绳与F作用线成a角时，绳张力为T，对绳上节点O，2cosTF，对小球，cosxTma，2xFam，即小球在x方向上做匀加速运动。设F的作用点共移动s距离，则小球在x方向上运动了sl的距离，小球碰撞前在x方向上的速度为mlsFlsavxx/)()(2。在这段过程中，根据动能定理2102Fsmv=221()02xymvv，解得yFlvm[题后小结][例题4]质量为2t的汽车在平直公路上由静止开始运动，若保持牵引力恒定，则在30s内速度增大到15m/s，这时汽车刚好达到额定功率，然后保持额定输出功率不变，再运动15s达到最大速度20m/s，求：（1）汽车的额定功率；（2）汽车运动过程中受到的阻力；（3）汽车在45s共前进多少路程。[解]（1）（2）设汽车的额定功率为P，运动中所受的阻力为f，前30s内的牵引力为F，则前30s内，匀加速运动的加速度为a=11tv=0.5m/s2此过程中F-f=maP=Fv1=（f+ma）v1在45s末有P=fv2代入数据后解得P=60kW，f=3000N。（3）汽车在前30s内运动的路程为s1=112tv=225m，后15s内的位移s2满足Pt2-fs2=21mv22-21mv12，解得s2=241.7m，总路程s=s1+s2=466.7m。[题后小结][例题5]一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为．令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？[解一](1)建立如图坐标系，设某一时刻桌面上全链条长为x，则摩擦力大小为xfmgl，alaFTxayaO4摩擦力的功00ddflalamWfxgxxl=202lamgxl=2)(2allmg(2)以链条为对象，应用质点的动能定理∑W＝2022121vvmm其中∑W=WP＋Wf，v0=0，WP=dlaPy=22()d2lamgmglayyll由上问知lalmgWf2)(2，所以222221)(22)(vmallmglalmg得21222)()(alallgv[解二]设某一时刻桌面上全链条长为x，作f-x图，得1()2flaWlamggl作P-y图，得1()()2GaWlamgmgl动能定理WP＋Wf＝2022121vvmm即得21222)()(alallgv。[题后小结]解一用公式法求变力功，解二图象法求变力功。（三）课后练习A组练习1、将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。2、如图所示，一固定的斜面，倾角45，斜面长L=2.00米.在斜面下端有一与斜面垂直的挡板.一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零.下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞.已知质点与斜面间的动摩擦因数20.0，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。3、有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上。每相邻的两个木块均用长为L的柔绳连接着。现用大小为F的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度。4、运动车的重心到前轮与到后轮距离相等。在汽车的初速度相同的情况下，若在刹车时只握住后轮的刹车块，则制动路程长为L1，若在刹车时只握住前轮的刹车块，则制动路程长为L2，。求在同时握住前轮和后轮的刹车块的情况下的制动路程。55、如图，水平放置的光滑固定圆形轨道半径为R，质量为m的小球由静止起从轨道最右端附近处处释放，在一个大小始终为mg/5、水平向左的恒力F作用下沿轨道运动，求小球运动到轨道最左端时对轨道的作用力。B组练习1、如图所示，AB是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h，末端B处的切线方向水平。一个质量为m的小物体P从轨道顶端A处由静止释放，滑到B端后飞出，落到地面上的C点，轨迹如图中虚线BC所示，已知它落地时相对于B的水平位移OC=l．现在轨道下方紧贴B点安装一水平传送带，传送带的右端到B点的距离为l／2。当传送带静止时，让P再次从A点由静止释放，它离开轨道并在传道带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面的C点．当驱动轮转动从而带动传送带以速度v匀速向右运动时(其它条件不变)，P的落地点为D．(不计空气阻力)天+星+教+育+(1)求P滑至B点时的速度大小；(2)求P与传送带之间的动摩擦因数；(3)求OD之间的距离s=?2、一辆汽车通过图中的细绳提起井中质量为m的物体，开始，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直的，左侧绳长为H，提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v，（绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计）。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。3、跳水运动员从高于水面H=10米的跳台自由落下，假设运动员的质量m=60千克，其体形可等效为一长度L=1米、直径d=0.3米的圆柱体，略去空气阻力。运动员入水后，水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面，F的量值随入水深度Y变化的函数曲线如图。该曲线可近似看作椭圆的长、短轴OY和OF重合。椭圆与Y轴相交于Y=h处，与F轴相交于F=（5/2）mg处。为了确保运动员的安全，试计算水池中水的深度h至少应等于多少。（水的密度取ρ=1.0×103千克/米3）（第十一届预赛）4、一个质量为m的小物体放在半径为R的光滑半球顶上。开始时两者相对静止。现使半球面以加速度a=g/4匀加速向前运动，求物体离开球面时离半球底面的距离h。5、质量为m，长为L的均质杆在水平面内以角速度ω绕通过一端的竖直轴转动，求杆的动能。A组练习参考答案1、有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：R62021mvmgH和20218.0mvHfmg，可得H=v02/2g，mgf41再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：22021218.02mvmvHf，解得053vv从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。2、解析（第十五届预赛）因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.设每次开始下滑时，小球距档板为s则由功能关系：sin)()(cos2121ssmgssmgsin)()(cos3232ssmgssmg即有32cossincossin2312ssss由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为.32∴在发生第11次碰撞过程中的路程11321222sssss1111111321321])32(1[2)(2sssssss)(86.9)()32(121011mm3、解析每一个木块被拉动起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离L后，把绳拉紧，再牵动下一个木块.在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能.因此，如果列出221)1(nnmvFLn这样的关系式是错误的.设第)1(n个木块刚被拉动时的速度为1nv，它即将拉动下一个木块时速度增至1nv，第n个木块刚被拉动时速度为nv.对第)1(n个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：2121)1(21)1(21nnmvnvmnFL①对绳子把第n个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有vv/fGGf7nnnmvvmn1)1(得：nnvnnv11②把②式代入①式得：212)1(21)1()1(21nnmvnvnnmnFL整理后得：21222)1(2)1(nnvnvnmFLn③③式就是反映相邻两木块