2变形岩石的应变分析基础

第二章变形岩石的应变分析基础:二维应变分析方向变化:地质图与剖面图，赤平投影大小变化:应变测量主要参考书：J.G.RamsayandM.I.Huber,1983,TheTechniqueofModernStructuralGeologyVolume1StrainAnalysis现代构造地质学方法第一卷应变分析，地质出版社，1991。郑亚东、常志忠，1985，岩石有限应变测量及韧性剪切带，地质出版社。卡片模拟实验及结果的简单分析实验装置及设计结果及其分析一、位移(Displacement)和变形(Deformation)的基本概念天然岩石，在特定的地质环境下，受到应力作用而发生质点间的相对位移经过一定的时间，改变了原有地质结构的形态和方位，而形成的新的构造和组构。1位移的基本形式刚体平移Translation物体相对于外部坐标作整体的平移(直移)刚体旋转Rotation物体相对于外部坐标作整体的旋转单元体相对于坐标的位移基本型式体变Dilation物体内各个质点的相对位置发生了变化，改变了物体的大小形变Distortion（变歪）物体内各个质点的相对位置发生了变化，改变了物体的形状应变Strain物体在应力作用下的形状和大小的改变量。有时也涉及其旋转的成分2.应变的度量应力状态是指某一瞬间作用于物体上的应力分布情况，应力场是随时间而变化的。应变是指物体在变形前后状态的比较，是经过一段时间的变形后两种状态的比较。（1）长度应变LongitudinalstrainExtension线应变（伸长度）变形后单位长度的改变量e=(l’-l)/lQuadraticelongation平方长度比λ=(l’/l)2=(1+e)2Naturalstrain自然应变ε=ΣΔl/l＝∫l’ldl/l=ln(l’/l)=ln(1+e)ll’ll’Δl（2）剪应变ShearstrainAngularshearstrain,角剪应变ψ,变形前相互垂直的两条直线，变形后其夹角偏离直角的量。ψShearstrain剪应变γ=tanψ关于角剪应变的取值，特别注意对某一直线而言，由其顺时针旋转90°所成直角，若变形后原直角减小，其值为正！否则，原直角增加时，则取负值！如图中OY线γy=为正值，而γx则为负值剪应变（γ）的正负取值也可表达为：如果原始垂线相对于特定方向顺时针旋转，角剪应变γ取负值；如果原始垂线相对于特定方向逆时针旋转，角剪应变γ取正值；如右图，A’B’、B’C’取正值，C’A’取负值！3有限应变finitestrain和无限小应变infinitesimalstrain有限应变：物体变形的最终状态和初始状态的对比所发生的变化递进变形progressivedeformation增量应变incrementalstrain无限小应变4均匀变形（homogeneous）和非均匀变形（inhomogeneousdeformation）物体内各点的应变状态相同的变形称均匀变形。变形前的直线在变形后仍是直线；变形前的平行线在变形后仍然平行。其中的单位圆变形后成为椭圆，称为应变椭圆其中任何一小单元的应变性质（大小和方向）可以代表整个物体的变形特征。非均匀变形：物体内各点的应变特征随其位置而发生变化的变形。连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的。不连续变形：如断裂。不连续变形：如断裂；应变的相容性问题。简单剪切的卡片模型示观察尺度的影响二、二维应变的位移矢量和坐标变换方程位移矢量displacementvector质点的初始位置和最终位置的连线（方向和距离）并不代表质点的真正位移路径displacementpathxX’x’=x+uy’=y+v2刚体旋转x’=cosωx+sinωyy’=-sinωx+cosωy1刚体平移xpp’uvxypp’x’y’ωy3简单剪切x’=x+γyγ=tanψy’=yΔA=0,4双轴伸缩x’=(1+ex)x,x’/x=1+exy’=(1+ey)y,y’/y=1+eyΔA=(A’-A)/A=(1+ex)(1+ey)-15纯剪切PureshearΔA=0,(1+ex)(1+ey)=1(1+ex)=1/(1+ey)ψxypP’xx’ypP’yxxx’yy’5普通剪切generalshear简单剪切x’=x+γyy’=y叠加单轴伸缩x’’=x’y’’=(1+ey)y’.x’’=x+γyy’’=(1+ey)yy’’x’’pp’p’’6一般的均匀应变x’=ax+byy’=cx+dy或x=(dx’-by’)/(ad-bc)y=(-cx+ay)/(ad-bc)直线的变形y=mx+ky’=[(c+dm)/(a+bm)]x’+[(ad-bc/(a+bm)]k三、应变椭圆及其参数1应变椭球/圆strainellipse的概念单位球体经均匀变形后成为的椭球体称为应变椭球（strainellipsoid），以椭球的形态和方位来形象地表达岩石的应变状态。二维应变分析中，一个单位球体变形后成为椭球。在x,y,z坐标系下，单位球体方程：x2+y2+z2=1经均匀变形后变成椭球，具有三个相互垂直的主轴，可以证明，这些主轴变形前也是相互垂直的（课后请大家自己证明）单位球体半径为1，则应变椭球主半径分别为1+e1,1+e2和1+e3,即λ11/2,λ21/2,λ31/2，一般λ1≥λ2≥λ3在x,y,z坐标中，方程为:x2/λ1+y2/λ2+z2/λ3=1这是应变椭球的方程,平面二维下，可变化为应变椭圆。2简单前切应变椭圆的简单推导（坐标变换方程下）二维单位圆，圆心在（0，0）其方程：x2+y2=1(1)其中任一点（x,y),经简单剪切后到达（x’,y’），则x=x’+γy’,y=y’-欧拉方程（2）将（2）代入（1）式，可得：x’2+2γx’y’+(1+γ2)y’2=1（3）这是一个椭圆的方程,称为应变椭圆应变椭圆的通用方程是：Ax2+Bxy+Cy2=1A、B和C为常数简单剪切条件下应变椭圆方程的计算实例边长为2的正方形简单剪切后形成的椭圆及坐标系如图，其内接圆为单位半径圆。正方形中x轴上质点保持不动，其余质点沿平行x轴方向成比例移动，上方向左，下方向右，上、下边缘点移动距离为5/6。单位圆圆心在（0，0），其方程：x2+y2=1(1)根据坐标关系，其中任一点（x,y),经简单剪切后到达（x1,y1），则x1=x+5/6y,y1=y---------欧拉方程（2）即x=x1-5/6y1,y=y1（3）将（3）代入（1）式，可得：x12-5/3x1y1+61/36y12=1（4）这与x’2+2γx’y’+(1+γ2)y’2=1是同一个椭圆的方程3初始为椭圆变形后的应变方程初始椭圆方程：lx2-2mxy+ny2=1经变形后仍为椭圆，其方程为：px’2-2qx’y’+ry’2=1其中：p=(ld2+2mcd+nc2)/(ad-bc)2q=[m(ad+bc)+lbd+nac]/(ad-bc)2r=(lb2+2mab+na2)/(ad-bc)24应变椭圆的参数应变椭圆的长轴λ11/2、短轴λ11/2的大小长轴X轴的夹角θ’和θ及其旋转角ω=θ-θ’λ11/2λ21/2pp’αθ’α’长轴λ11/2=(1+e1)={a2+b2+c2+d2+[(a2+b2+c2+d2)2–4(ad-bc)2]1/2}/2短轴λ21/2=(1+e2)={a2+b2+c2+d2-[(a2+b2+c2+d2)2–4(ad-bc)2]1/2}/21）应变椭圆长、短轴应变值λ11/2和λ21/2应变主轴与X轴的夹角θ’tan2θ’=2(ac+bd)/(a2+b2-c2-d2)变形前应变主轴与X轴的夹角θtan2θ=2(ab+cd)/(a2-b2+c2-d2)旋转角度及其相互关系tanω=tan(θ’-θ)=(b-c)/(a+d)2）应变椭圆应变主轴，以及变形前应变主轴与x轴间的夹角θ’、θ和旋转角度ω及其相互关系λ11/2λ21/2pp’αθ’α’λ=1/2（a2-b2+c2-d2)cos2α+(ab+cd)sin2α+1/2(a2+b2+c2+d2)其中λ=(1+e)2任意最终与X轴成α’角的直线的线应变λ’λ’=[1/2（d2+c2-a2-b2)cos2α’-(ac+bd)sin2α’+1/2(a2+b2+c2+d2)]/(ad-bc)2其中λ’=1/λ=1/(1+e)23）任意初始与X轴成α角的直线的线应变λ变形后应变椭圆的主应变轴的方向（θ’）为获得最大与最小值，可令：4）任意初始与X轴成α角的直线的线应变λ坐标变换方程常数a=1b=γc=0d=1，应变椭圆参数为：λ1=(1+e1)2=[2+γ2+γ(4+γ2)1/2]/2λ2=(1+e2)2=[2+γ2-γ(4+γ2)1/2]/2tan2θ’=2/γtan2θ=-2/γtanω=γ/2详细的推导过程，请参阅Ramsay和Huber的原著之附录B。5）比较典型变形，如简单剪切的应变椭圆参数四、应变对象中线的长度和角度变化1长度变化初始与应变椭圆长轴成φ角，变形后成φ’角的直线。x’=xλ11/2,y’=yλ21/2x’=λ1/2cosφ’y’=λ1/2sinφ’cosφ=x=x’/λ11/2,sinφ=y=y’/λ21/2,cos2φ+sin2φ=1,λ’=1/λ=λ1’cos2φ’+λ2’sin2φ’λ=λ1cos2φ+λ2sin2φp1(x,y)p’(x’,y’)φφ’λ1/2yxy’X’无长度应变线λ=1得tan2φ=(λ1-1)/(1-λ2)tan2φ’=λ2(λ1-1)/λ1(1-λ2)当体积不变λ2=1/λ1tan2φ’=1/λ1因λ1大于1，故φ’一定小于45度p1(x,y)p’(x’,y’)φφ’λ1/22角度变化Tanφ’=y’/x’=yλ21/2/xλ11/2=tanφ(λ2/λ1)1/2=(tanφ)/RR=(λ1/λ2)1/2角度变化与主应变的绝对值无关，即与面积变化无关；只取决于主应变的轴比。3剪应变x2+y2=1(xx’/λ1)+(yy’/λ2)=1(椭圆切点)γ/λ=λ’=(1/λ2–1/λ1)sinφ’cosφ’=1/2(λ’2–λ’1)sin2φ’γ=(R2-1)tanφ’/(1+R2tan2φ’)最大剪应变令dγ/dφ=0,得[(λ1–λ2)/(λ1λ2)1/2]cos2φ=0或[(λ1–λ2)/(λ1λ2)1/2]=0或cos2φ=0,则φ=±45°或φ’=tan-1(1/R)γmax=(λ1–λ2)/2(λ1λ2)1/2γmin=(λ2–λ1)/2(λ1λ2)1/2详细的推导过程，请参阅Ramsay和Huber的原著之附录D！五、长度变化的地质意义能干性或强硬度（competence),能干性差异是造成构造变形的重要条件。1香肠构造(boudinage)，布丁构造不同能干性的岩石相间成层的岩系，受到平行层的拉伸（可能有或无垂直层面的压缩），而形成的构造。易流动的非能干层（相对软弱层）可以通过内部的塑性流动而均匀伸长来调节应变。能干层不易发生塑性流变，受到不断加强的平行层的拉伸，使其在某些初始的微小缺陷处产生应力集中，最终发生断裂，进一步伸展使断块分离，形成断面形态各异、三维上通常呈长而平行的柱状体，貌似平行排列的一排排放在橱窗里的法国香肠，故称为石香肠boudins（Lohest等，1909）。石香肠的断面形态反映了岩层间能干性的差异矩形：最能干的层在内部应变很小时就出现脆性破裂，形成垂直层面的张裂。菱形：能干层发生剪切破裂。透镜状或藕节形：能干性差异较小，强岩层先与弱的基质一起发生一定程度的变薄并细颈化，进而被张裂或剪裂而拉断。肿缩构造：pinchandswells