2015年高中数学《古典概型》自测试题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2015年高中数学《古典概型》自测试题【梳理自测】1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为()A.23B.14C.13D.122．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16B.12C.13D.233．甲乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是()A.13B.23C.12D.144．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．答案：1.D2.C3.B4.135.15◆以上题目主要考查了以下内容：(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(2)古典概型①定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．a．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----b．每个基本事件出现的可能性相等．②概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数．【指点迷津】1．一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝card（A）card（I）＝mn.2．两个特征一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．3．两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．考向一简单古典概型的概率例题1(2014·辽宁省大连市调研)某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为(3.9，4.2]，(4.2，4.5]，…，(5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率(3.9，4.2]30.06(4.2，4.5]60.12(4.5，4.8]25x(4.8，5.1]yz(5.1，5.4]20.04合计n1.00(1)求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；(2)从样本中视力在(3.9，4.2]和(5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----对值低于0.5的概率．【审题视点】依频数、频率之间的关系求n，x，y，z，列举所有随机事件的结果，由古典概型求概率．【典例精讲】(1)由频率分布表可知，样本容量为n，由2n＝0.04，得n＝50.∴x＝2550＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝yn＝1450＝0.28.(2)记样本中视力在(3.9，4.2]的三人为a，b，c，在(5.1，5.4]的两人为d，e.由题意，从五人中随机抽取两人，所有可能的结果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种．记事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(d，e)，共4种．所以P(A)＝410＝25.故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25.【类题通法】根据公式P(A)＝mn进行概率计算时，关键是求出n，m的值，在求n值时应注意这n种结果必须是等可能的，对一些比较简单的概率问题，求m，n的值只需列举即可．变式训练1．(2014·武汉市适应性训练)编号为A1，A2，…，A10的10名学生参加投篮比赛，每人投20个球，各人投中球的个数记录如下：学生编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10投中个数41311171069151112(1)将投中个数在对应区间内的人数填入表的空格内；区间[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)人数(2)从投中个数在区间[10，15)内的学生中随机抽取2人，①用学生的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人投中个数之和大于23的概率．解析：(1)依题意得，投中个数在对应区间内的人数如下表：-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----区间[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)人数1252(2)①投中个数在区间[10，15)内的学生编号为A2，A3，A5，A9，A10，从中随机抽取2名学生，所有可能的抽取结果为(A2，A3)，(A2，A5)，(A2，A9)，(A2，A10)，(A3，A5)，(A3，A9)，(A3，A10)，(A5，A9)，(A5，A10)，(A9，A10)，共10种．②将“从投中个数在区间[10，15)内的学生中随机抽取2人，这2人投中个数之和大于23”记为事件B，事件B的所有可能的结果为(A2，A3)，(A2，A9)，(A2，A10)，共3种．所以P(B)＝310.考向二有放回抽样与无放回抽样例题2(2014·大连模拟)盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；(2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．【审题视点】从中取一只再放回，属于有放回抽样，每次取灯泡的总数不变，还是3只，可列举事件个数，属于古典概型．【典例精讲】(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，a1a1a2b1a2a1a2b1b1a1a2b1①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)(a1，a2)(a2，a1)(a2，a2)共4个基本事件；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a1，b1)(a2，b1)(b1，a1)(b1，a2)共4个基本事件．(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率为P＝13.【类题通法】有“放回抽样”，被抽取的元素总数不变，同一个元素可以被重复抽取．“无放回抽样”，被抽取的元素总数随抽取的次数逐渐减少，同一个元素不会被重复抽取．变式训练2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.考向三古典概型与互斥(对立)事件概率的综合应用例题3(2014·山东莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x、y，且xy”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．【审题视点】列举所有基本事件从中找出，满足11≤x＋y＜17且x＜y或“x＜y≤5”的个数，用古典概型求概率．【典例精讲】(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y17，其中xy”，由(1)可知事件A共含有15个基本事件，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，共15个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“xy≤5”，包含：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝1536＋1036＝2536.【类题通法】(1)本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．(2)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求．变式训练3．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm＋2的概率．解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.故满足条件nm＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----古典概型的规范解答(2013·高考江西卷)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别