2015年高中数学新课标一轮复习72

七十二离散型随机变量的均值与方差1．(2014·菏泽模拟)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8[答案]C[解析]由题意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，因此b＝0.4，a＝7.故应选C.2．(2014·河南洛阳猜题)某市要对2000多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况，残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是()A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁[答案]C[解析]由图知，抽到的司机年龄在[30,35)岁之间的频率是0.35；抽到的司机年龄在[35,40)岁之间的频率是0.30；抽到的司机年龄在[40,45)岁之间的频率是0.10.由于司机年龄在[35,45)岁之间的频率是0.400.50，在[30,45)岁之间的频率是0.750.50，故中位数在区间[30,35)内，是35－0.100.07≈33.6(岁)．3．若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)＝24，则p的值是()A.25B.35C.625D.1925[答案]C[解析]∵X～B(100，p)，∴E(X)＝100p.又∵E(X)＝24，∴24＝100p，p＝24100＝625.故应选C.4．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113[答案]C[解析]分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：x1·23＋x2·13＝43，x1－432·23＋x2－432·13＝29，解得x1＝53，x2＝23或x1＝1，x2＝2，又∵x1x2，∴x1＋x2＝3.故应选C.5．(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A．8B．10C．9D．15[答案]B[解析]设5个数据为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x2＋x3＋x4＋x55＝7，又样本方差为4，即4＝15[(x1－7)2＋(x2－7)2＋…＋(x5－7)2]，20＝x21＋x22＋x23＋x24＋x25－2×7×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋72×5，x21＋x22＋x23＋x24＋x25＝265.不防设x1x2x3x4x5，则x5≥x4＋1≥x3＋2≥x2＋3≥x1＋4，故35＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5≥x1＋x1＋1＋x1＋2＋x1＋3＋x1＋4，x1≤5，同理有35≤x5－4＋x5－3＋x5－2＋x5－1＋x5，x5≥9.当5个数为5,6,7,8,9时，52＋62＋72＋82＋92＝255，不满足条件；当5个数为5,6,7,8,10时，52＋62＋72＋82＋102＝274，不满足条件；当5个数为4,6,7,8,10时，42＋62＋72＋82＋102＝265.当x5≥11时，没有满足条件的解，故最大值为10.6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4[答案]C[解析]方案A1，A2，A3，A4盈利的期望分别是：A1：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2：70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；A3：－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；A4：98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.所以A3盈利的期望值最大，所以应选择A3.故应选C.7．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A．600B．400C．300D．200[答案]D[解析]由正态分布曲线知正态分布曲线关于直线x＝90对称，此次数学考试成绩不低于110分的概率为1－352＝15，学生人数约为200人．故应选D.8．把一个正态曲线a沿着横轴向右移动2个单位，得到一条新曲线b，下列说法不正确的是()A．曲线b仍是正态曲线B．曲线a和b的最高点纵坐标相等C．以曲线b为概率密度曲线的方差比曲线a为概率密度曲线的方差大2D．以曲线b为概率密度曲线的均值比以曲线a为概率曲线的均值大2[答案]C[解析]正态密度函数f(x)＝，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点纵坐标f(u)＝12π·σ.所以曲线a向右平移两个单位，曲线形状未变，仍为正态曲线，且最高点纵坐标未变．从而σ未变．所以方差未变，而对称轴变了，即μ变了．因此μ增加两个单位．9．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p的值；(2)设X表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．[解析](1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2＋(1－p)2＝59，解得p＝13或p＝23.又p12，所以p＝23.(2)依题意知X的所有可能取值为2,4,6.P(X＝2)＝59，P(X＝4)＝1－59×59＝2081，P(X＝6)＝1－59－2081＝1681，所以随机变量X的分布列为X246P5920811681所以数学期望E(X)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.10．某射手射击一次所得环数X的分布列如下：X78910P0.10.40.30.2现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.(1)求ξ7的概率；(2)求ξ的分布列与数学期望．[解析](1)P(ξ7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.(2)ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.∴ξ的分布列为ξ78910P0.010.240.390.36∴ξ的数学期望E(ξ)＝7×0.01＋8×0.24＋9×0.39＋10×0.36＝9.1.11．现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个考生被要求用英语回答问题的概率均为13.(1)求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；(2)用X，Y分别表示这4个人中用英语、汉语回答问题的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．[解析](1)记“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件A，则P(A)＝C241321－132＝827.(2)ξ的可能取值为0,2,4，P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝C24132232＝827，P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝C14131233＋C34133231＝4081，P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝C04130234＋C44134230＝1781，随机变量ξ的分布列为ξ024P82740811781E(ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.12．有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p，且三人能否通过面试相互独立．记X为通过面试的人数，其分布列为X0123P940abc(1)求至少有两人通过面试的概率；(2)求数学期望E(X)．[解析]设“甲通过面试”为事件A1，“乙通过面试”为事件A2，“丙通过面试”为事件A3，所以P(A1)＝25，P(A2)＝12，P(A3)＝p.(1)由已知得P(X＝0)＝940，即1－251－12(1－p)＝940，所以p＝14.设“至少有两个通过面试”为事件B，由题意知P(X＝2)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝25×12×34＋25×12×14＋35×12×14＝1140，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝25×12×14＝120，所以P(B)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝1340.(2)由题意得P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝920，所以EX＝0×940＋1×920＋2×1140＋3×120＝2320.13．已知盒中有编号为A，B，C，D的4个红球，4个黄球，4个白球(共12个球)，现从中摸出4个球(除编号与颜色外球没有区别)．(1)求恰好包含字母A，B，C，D的概率；(2)设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X，求X的分布列和期望E(X)．[解析](1)P＝C13·C13·C13·C13C412＝955.(2)由题意知X可能值为1,2,3，P(X＝1)＝C13C412＝1165，P(X＝2)＝C23C14C34＋C24C24＋C34C14C412＝68165，P(X＝3)＝3C14C14C24C412＝3255.∴X的分布列为X123P1165681653255∴期望E(X)＝1165＋2×68165＋3×3255＝8533.14．(2014·邯郸质检)某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路1231101.6公路214120.8(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？(注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费)[解析](1)若汽车走公路1，不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6＝18.4(万元)；堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6－1＝17.4(万元)，∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为ξ18.417.4P910110E(ξ)＝18.4×910＋17.4×110＝18.3(万元)．(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，则不堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8＋1＝20.2(万元)；堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8－2＝17.2(万元)．∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为η20.217.2P1212E(η)＝20.2×12＋17.2×12＝18.7(万元)．∵E(ξ)E(η)，∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多．15．(2014·忻州一中质检)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序作答，竞赛规则如下：①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,