2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲不等关系与不等式

第七章不等式第1讲不等关系与不等式一、选择题1．已知a，b为实数，则“a＞b＞1”是“1a－1＜1b－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由a＞b＞1⇒a－1＞b－1＞0⇒1a－1＜1b－1，又当a＝0，b＝2时，1a－1＜1b－1/⇒a＞b＞1，故选A.答案A2．已知m∈(b，a)且m≠0，1m的取值范围是1a，1b，则实数a，b满足()A．a＞b＞0B．a＞0＞bC．a＜0＜bD．a＜b＜0解析由题知b＜a，从而排除选项C，D.若ab＜0，则由1b＞1a可得a＜b，不合题意，故选项B不正确．从而知A正确．答案A3．已知下列四个条件：①b0a，②0ab，③a0b，④ab0，能推出1a1b成立的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析运用倒数性质，由ab，ab0可得1a1b，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案C4．如果a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是()．A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(a－c)0解析由题意知c0，a0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．答案C5．若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b0恒成立；条件乙：2b－a0，则甲是乙的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b0成立，∴当a0时，ax＋b≥b－a0，当a0时，ax＋b≥b0，∴b－a0，b0，∴2b－a0，∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a＝32b，b0时，则2b－a＝12b0，但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－32b＋b＝－12b0，∴甲是乙的充分不必要条件．答案A6．已知a、b、c是任意的实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的为()A．(a＋c)4＞(b＋c)4B．ac2＞bc2C．lg|b＋c|＜lg|a＋c|D．(a＋c)13＞(b＋c)13解析当a＞b，a＋c与b＋c为负数时，由0＞a＋c＞b＋c，得0＜－(a＋c)＜－(b＋c)．∴0＜[－(a＋c)]4＜[－(b＋c)]4，即(a＋c)4＜(b＋c)4.∴A不成立；当c＝0时，ac2＝bc2，∴B不成立；当a＞b时，a＋c＞b＋c，但若a＋c、b＋c均为负数时，[来源ZXXK]|a＋c|＜|b＋c|，即lg|a＋c|＜lg|b＋c|.故C不恒成立．故选D.答案D二、填空题7．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是________．解析由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ得－πα－β0.答案(－π，0)8．现给出三个不等式：①a2＋12a；②a2＋b22a－b－32；③7＋103＋14.其中恒成立的不等式共有________个．解析因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋10，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)2－(3＋14)2＝270－2420，且7＋100，3＋140，所以7＋103＋14，即③恒成立．答案29．已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β0，β＋γ0，γ＋α0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．解析∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵α＋β0，β＋γ0，γ＋α0，∴α－β，β－γ，γ－α，而f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)f(－β)＝－f(β)，f(β)f(－γ)＝－f(γ)，f(γ)f(－α)＝－f(α)，以上三式相加得：2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]0，即f(α)＋f(β)＋f(γ)0.答案f(α)＋f(β)＋f(γ)010．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logb1b＜loga1b＜logab成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．解析∵logb1b＝－1若1＜a＜b，则1b＜1a＜1＜b.∴loga1b＜loga1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜1b＜1a，∴logab＞loga1b＞loga1a＝－1＝logb1b，故条件②可以；若0＜a＜1＜b，则0＜1b＜1，∴loga1b＞0，logab＜0，条件③不可以．答案②三、解答题11．已知a＞2，b＞2，试比较a＋b与ab的大小．解法一(作差法)：ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，∵a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴(a－1)(b－1)－1＞0.∴ab－(a＋b)＞0.∴ab＞a＋b.法二(作商法)：∵a＋bab＝1b＋1a，且a＞2，b＞2，∴1a＜12，1b＜12.∴1b＋1a＜12＋12＝1.∴a＋bab＜1.又∵ab＞4＞0，∴a＋b＜ab.12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解由题意，得a－c＝f1，4a－c＝f2，解得a＝13[f2－f1]，c＝－43f1＋13f2.所以f(3)＝9a－c＝－53f(1)＋83f(2)．因为－4≤f(1)≤－1，所以53≤－53f(1)≤203，因为－1≤f(2)≤5，所以－83≤83f(2)≤403.两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．13．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．14．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sinx)≤f1＋2m－74＋cos2x对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．解假设实数m存在，依题意，可得m－sinx≤4，m－sinx≥1＋2m－74＋cos2x，即m－4≤sinx，m－1＋2m＋12≥－sinx－122.因为sinx的最小值为－1，且－(sinx－12)2的最大值为0，要满足题意，必须有m－4≤－1，m－1＋2m＋12≥0，解得m＝－12或32≤m≤3.所以实数m的取值范围是32，3∪－12.