2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第4讲平面向量应用举例

第4讲平面向量应用举例一、选择题1．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为()A．2B．－2C．4D．－4解析由题意得12×|AB→|×|AC→|×sinA＝3，所以12×4×1×sinA＝3，故sinA＝32，又A为锐角，所以A＝60°，AB→·AC→＝|AB→|×|AC→|×cosA＝4×1×cos60°＝2.答案A2．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是()．A.32B.3C．23D.12解析a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×32＝4×sin30°×32＝3.答案B3.函数y＝tanπ4x－π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB→)·AB→＝()．A．4B．6C．1D．2解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA→＋OB→)·AB→＝(OA→＋OB→)·(OB→－OA→)＝OB→2－OA→2＝10－4＝6.答案B4．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈π4，π2，且a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z中，则a∘b＝()A.52B.32[来源:Z#xx#k.Com]C．1D.12解析a∘b＝a·bb2＝|a||b||b|2cosθ＝|a||b|cosθ，b∘a＝|b||a|cosθ，因为|a|0，|b|0,0cosθ22，且a∘b、b∘a∈n2n∈Z，所以|a||b|cosθ＝n2，|b||a|cosθ＝m2，其中m，n∈N＋，两式相乘，得m·n4＝cos2θ，因为0cosθ22，所以0cos2θ12，得到0m·n2，故m＝n＝1，即a∘b＝12.答案D5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aBC→＋2bCA→＋3cAB→＝0，则cosB＝()．A．－1124B.1124C.2936D．－2936解析由4aBC→＋2bCA→＋3cAB→＝0，得4aBC→＋3cAB→＝－2bCA→＝－2b(BA→－BC→)＝2bAB→＋2bBC→，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝b24＋49b2－b22·b2·23b＝－1124.答案A6．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，则CA→在CB→方向上的投影为()．A．1B．2C.3D．3解析如图，由题意可设D为BC的中点，由OA→＋AB→＋AC→＝0，得OA→＋2AD→＝0，即AO→＝2AD→，∴A，O，D共线且|AO→|＝2|AD→|，又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，∴|AC→|＝|AB→|＝|OA→|＝2，|AD→|＝1，∴|CD→|＝3，∴CA→在CB→方向上的投影为3.答案C二、填空题7．在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.解析AE→·BD→＝AD→＋12DC→·(BA→＋BC→)＝(AD→＋12DC→)·(AD→－DC→)＝AD→2－12DC→·AD→－12DC→2＝1－12×1×2cos60°－12×4＝－32.答案－328．已知非零向量AB→，AC→和BC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AC→|AC→|·BC→|BC→|＝12，则△ABC为________三角形．解析∵AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，∴cosB＝cosC.∴△ABC为等腰三角形．又∵AC→|AC→|·BC→|BC→|＝12，∴cos〈AC→·BC→〉＝12.∴〈AC→·BC→〉＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案等边9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．解析若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.9x＋3y＝32x＋3y≥2×32x＋y＝2×32＝6.当且仅当x＝12，y＝1时取得最小值．答案610．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉0，即－1≤cos〈a，b〉12.所以a与b的夹角范围为π3，π.答案π3，π三、解答题11．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝－1，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．解(1)∵AC→＝(cosα－3，sinα)，BC→＝(cosα，sinα－3)，∴AC→2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，BC→2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，由|AC→|＝|BC→|，可得AC→2＝BC→2，即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.又α∈π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC→·BC→＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝23.①又2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosα.由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝49，∴2sinαcosα＝－59.∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝－59.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－3)，n＝cos2B，2cos2B2－1且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．解(1)∵m∥n，∴2sinB2cos2B2－1＝－3cos2B，∴sin2B＝－3cos2B，即tan2B＝－3.又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝2π3，∴B＝π3.(2)∵B＝π3，b＝2，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为3.14．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解(1)m·n＝3sinx4·cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋1＋cosx22＝sinx2＋π6＋12，∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12.cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝12，∵0＜B＜π，∴B＝π3，∴0＜A＜2π3.∴π6＜A2＋π6＜π2，sinA2＋π6∈12，1.又∵f(x)＝sinx2＋π6＋12，∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.故函数f(A)的取值范围是1，32.