2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第5讲两角和与差及二倍角的三角函数

第5讲两角和与差及二倍角的三角函数一、选择题1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32解析sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin30°＝12.答案A2．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于()．A.54B．－54C.43D．－43解析1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43，故选D.答案D3．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()A．－12B.12C．－13D.2327解析∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.答案D4．已知sinθ＋cosθ＝430θπ4，则sinθ－cosθ的值为()．A.23B．－23C.13D．－13解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0θπ4，∴sinθcosθ.∴sinθ－cosθ＝－sinθ－cosθ2＝－1－sin2θ＝－23.答案B5．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()．A．－12B.12C．－13D.2327解析∵cosα＝13，α∈0，π2，∴sinα＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.答案D6．已知cosπ6－α＋sinα＝453，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C.45D．－45解析由条件知cosπ6－α＋sinα＝32cosα＋12sinα＋sinα＝332sinα＋12cosα＝3sinα＋π6＝435.∴sinα＋π6＝45.∴sinα＋7π6＝－32sinα－12cosα＝－32sinα＋12cosα＝－sinα＋π6＝－45.答案D二、填空题7．设f(x)＝1＋cos2x2sinπ2－x＋sinx＋a2sinx＋π4的最大值为2＋3，则常数a＝________.解析f(x)＝1＋2cos2x－12cosx＋sinx＋a2sinx＋π4＝cosx＋sinx＋a2sinx＋π4＝2sinx＋π4＋a2sinx＋π4＝(2＋a2)sinx＋π4.依题意有2＋a2＝2＋3，∴a＝±3.答案±38．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a2)的两根为tanA，tanB，且A，B∈－π2，π2，则A＋B＝________.解析由题意知tanA＋tanB＝－3a－6，tanA·tanB＝3a＋17，∴tanA0，tanB0，tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3a1－3a＋1＝1.∵A，B∈－π2，π2，∴A，B∈－π2，0，∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－3π4.答案－3π49．已知：0°α90°，0°α＋β90°，3sinβ＝sin(2α＋β)，则tanβ的最大值是________．解析由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα，∴tanβ＝tan(α＋β－α)＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα＝tanα1＋2tan2α＝11tanα＋2tanα，∵1tanα＋2tanα≥22，∴tanβ的最大值为122＝24.答案2410．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1.则C等于________．解析将两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝sinC＝12，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.答案30°三、解答题11．如图，在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解(1)由已知条件及三角函数的定义可知：cosα＝210，cosβ＝255.∵α为锐角，∴sinα0，故sinα＝1－cos2α＝7210，[来源:学,科,网]同理sinβ＝1－cos2β＝55，∴tanα＝sinαcosα＝7，taβ＝sinβcosβ＝12.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋βtanβ＝－1.∵0απ2，0βπ2，∴0α＋2β32π.∴α＋2β＝3π4.12．已知函数f(x)＝sin2x＋π3＋sin2x－π3＋2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值和最小值．解(1)f(x)＝sin2x·cosπ3＋cos2x·sinπ3＋sin2x·cosπ3－cos2x·sinπ3＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4.所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，π8上是增函数，在区间π8，π4上是减函数．又f－π4＝－1，fπ8＝2，fπ4＝1，故函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.13．已知sinα＋cosα＝355，α∈0，π4，sinβ－π4＝35，β∈π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈0，π2，∴cos2α＝1－sin22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈π4，π2，β－π4∈0，π4，sinβ－π4＝35，∴cosβ－π4＝45，于是sin2β－π4＝2sinβ－π4cosβ－π4＝2425.又sin2β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425，又2β∈π2，π，∴sin2β＝725，又cos2α＝1＋cos2α2＝45，α∈0，π4，∴cosα＝255，sinα＝55.∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝255×－2425－55×725＝－11525.14．函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．解(1)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3，又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f(x)的值域为[－23，23]．(2)因为f(x0)＝835，由(1)有f(x0)＝23sinπx04＋π3＝835，即sinπx04＋π3＝45.由x0∈－103，23，知πx04＋π3∈－π2，π2，所以cosπx04＋π3＝1－452＝35.故f(x0＋1)＝23sinπx04＋π4＋π3＝23sinπx04＋π3＋π4＝23sinπx04＋π3cosπ4＋cosπx04＋π3sinπ4＝23×45×22＋35×22＝765.