2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第8讲二项分布与正态分布

第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．在正态分布N0，19中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为()A．0.097B．0.046C．0.03D．0.0026解析∵μ＝0，x＝13，∴P(X＜－1或X＞1)＝1－P(－1≤X≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.答案D2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()．A.34B.23C.35D.12解析问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝34.答案A3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案A4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于()．A．1B．2C．3D．4解析∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.答案B5．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσi·e－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()．A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案D6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()．A.125B．C25125C．C35123D．C25C35125解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C35123·122＝C35125＝C25125，故选B.答案B二、填空题7．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回．若以ξ表示取出次品的个数，则Eξ＝________，Dξ＝________.解析P(ξ＝0)＝C313C315＝2255，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.故ξ的分布列为ξ012P22351235135Eξ＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25，Dξ＝0－252×2235＋1－252×1235＋2－252×135＝52175.答案25521758．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1X0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.8413，∴P(X1)＝1－P(X≤1)＝1－0.8413＝0.1587.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X－1)＝P(X1)＝0.1587，∴P(－1X1)＝1－P(X－1)－P(X1)＝0.6826.∴P(－1X0)＝12P(－1X1)＝0.3413.答案0.34139．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.解析当p＝12时，P(X＝k)＝Ck2012k·1220－k＝Ck20·1220，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．答案1010．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为________．解析记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝123＋123＝14，从而P(A)＝1－P(B)＝1－14＝34.答案34三、解答题11．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋232×122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3由独立性，知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋232×122＝29，P(ξ＝3)＝P()A1B1A2B2＝232×122＝19.综上知，ξ的分布列为ξ123P232919从而Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次)．12．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X11.522.53P3203101415110X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意，知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23，由于A＝BC－D－＋B－CD－＋B－C－D，根据事件的独立性和互斥性，得P(A)＝P(BC－D－＋B－CD－＋B－C－D)＝P(BC－D－)＋P(B－CD－)＋P(B－C－D)＝P(B)P(C－)P(D－)＋P(B－)P(C)P(D－)＋P(B－)P(C－)P(D)＝34×1－23×1－23＋1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝736.(2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P(X＝0)＝P(B－C－D－)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝1－34×1－23×1－23＝136；P(X＝1)＝P(BC－D－)＝P(B)P(C－)P(D－)＝34×1－23×1－23＝112；P(X＝2)＝P(B－CD－＋B－C－D)＝P(B－CD－)＋P(B－C－D)＝1－34×23×1－23＋1－34×1－23×23＝19；P(X＝3)＝P(BCD－＋BC－D)＝P(BCD－)＋P(BC－D)＝34×23×1－23＋34×1－23×23＝13；P(X＝4)＝P(B－CD)＝1－34×23×23＝19，P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13.故X的分布列为X012345P13611219131913所以EX＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.14．一个人随机地将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子里，每个盒子放一个球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫放错了，设放对的情况有X种．(1)求X的分布列；(2)求X的均值和方差．解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.当X＝0时，说明四个球全放错了，记符号(m，n)表示编号为m的小球放入编号为n的盒子里，m，n＝1,2,3,4，则m≠n的情况有：共9种情况．所以P(X＝0)＝94！＝38；当X＝1时，说明只有一个球放对了，另三个球放错了，这种情况有2C14＝8(种)，所以P(X＝1)＝84！＝13；当X＝2时，说明有2个球放对了，另二个球放错了，P(X＝2)＝C244！＝14；当X＝3时，说明有3个球放对了，第四个球放错了，这种情况不存在；当X＝4时，说明4个球全放对了，P(X＝4)＝14！＝124.所以X的分布列为：X01234p3813140124(2)EX＝0×38＋1×13＋2×14＋3×0＋4×124＝1，DX＝(0－1)2×38＋(1－1)2×13＋(2－1)2×14＋(3－1)2×0＋(4－1)2×124＝1.