2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第8讲函数与方程

第8讲函数与方程一、选择题1．设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(－1)f(0)0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故选C.答案C2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()．A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－52，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点．答案B3．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解之得0a3.答案C4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6B．7C．8D．9解析当0≤x2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案B5．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为()．A．5B．6C．7D．8解析由题意知函数y＝f(x)是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．当x≠0时，若0x≤12，则x3＝xcos(πx)，即x2＝|cosπx|.同理可以得到在区间－12，0，12，1，1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图像，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案B6．方程x2＋2x－1＝0的解可视为函数y＝x＋2的图象与函数y＝1x的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点xi，4xi(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是()．A．RB．∅C．(－6,6)D．(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析(转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝4x，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝4x的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点xi，4xi(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与y＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：a＞0，x3＋a＞－2，x≥－2，或a＜0，x3＋a＜2，x≤2，⇒a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D.答案D二、填空题7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．解析∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)0，f(0.5)0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案(0,0.5)f(0.25)8．已知函数f(x)＝2x－1，x－x2－2xx≤0.若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0m1.答案(0,1)9.函数f(x)=21x2x,x02lgx1,x0的零点个数为_______.解析作出函数f(x)的图象，从图象中可知函数f(x)的零点有4个.答案410．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝2x2＋4x＋1，x0，2ex，x≥0，则f(x)的“友好点对”的个数是________．解析设P(x，y)、Q(－x，－y)(x0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝2ex，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴2ex＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝2ex、y2＝－2x2＋4x－1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.答案2三、解答题11．若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一零点，求实数m的取值范围．解析原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0x3)，设y1＝－(x－2)2＋1(0x3)，y2＝m，在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示)．由原方程在(0,3)内有唯一解，知y1与y2的图像只有一个公共点，可见m的取值范围是－3m≤0或m＝1.12．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．解析(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1,3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.13．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．解(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有f1≤0，f－1≥0，即1－16＋q＋3≤0，1＋16＋q＋3≥0，∴－20≤q≤12.(2)∵0≤t10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝15±172，∴t＝15－172；②当6t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8t10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件.14．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．法二：作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.法三：由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m2Δ＝m2－4e2≥0等价于mm≥2e或m≤－2e，故m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)