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§7.2基本不等式1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab.(2)基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.(×)(2)ab≤(a＋b2)2成立的条件是ab0.(×)(3)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈(0，π2)的最小值等于4.(×)(4)x0且y0是xy＋yx≥2的充要条件．(×)(5)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.(×)(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√)2．当x1时，关于函数f(x)＝x＋1x－1，下列叙述正确的是()A．函数f(x)有最小值2B．函数f(x)有最大值2C．函数f(x)有最小值3D．函数f(x)有最大值3答案C3．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2答案D解析∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a0，b0时，明显错误．对于D，∵ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.4．设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.32C．1D.12答案C解析由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，1x＋1y＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3a＋b22＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则1x＋1y的最大值为1.5．(2013·天津)设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．答案－2解析由于a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b，由于b0，|a|0，所以b4|a|＋|a|b≥2b4|a|·|a|b＝1，因此当a0时，12|a|＋|a|b的最小值是14＋1＝54；当a0时，12|a|＋|a|b的最小值是－14＋1＝34.故12|a|＋|a|b的最小值为34，此时b4|a|＝|a|b，a0，即a＝－2.题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x＋1y中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式．答案(1)3＋22(2)1解析(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．(2)∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(xy＋y)·(yx＋x)的最小值为________．(2)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案(1)4(2)3解析(1)依题意知，(xy＋y)(yx＋x)＝1＋y2x＋x2y＋1≥2＋2y2x×x2y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故(xy＋y)·(yx＋x)的最小值为4.(2)∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．题型二不等式与函数的综合问题例2(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1)D．(－22－1,22－1)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围．答案(1)B(2)[－83，＋∞)解析(1)由f(x)0得32x－(k＋1)·3x＋20，解得k＋13x＋23x，而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋122，即k22－1.(2)对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－(x＋8x)＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173.∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华(1)af(x)恒成立⇔a(f(x))max，af(x)恒成立⇔a(f(x))min；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，12)成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3答案C解析方法一设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－a2.当－a2≥12，即a≤－1时，f(x)在(0，12)上是减函数，应有f(12)≥0⇒a≥－52，∴－52≤a≤－1.当－a2≤0，即a≥0时，f(x)在(0，12)上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a≥0.当0－a212，即－1a0时，应有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1a0.综上，a≥－52，故选C.方法二当x∈(0，12)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋1x)恒成立．又φ(x)＝x＋1x在(0，12)上是减函数，∴φ(x)min＝φ(12)＝52，∴[－(x＋1x)]max＝－52，∴a≥－52.题型三基本不等式的实际应用例3某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3200元列等式，利用基本不等式即可求解．解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，则S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故0S≤10，从而0S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p＋q2%，若pq0，则提价多的方案是________．答案(1)B(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，方案乙：(1＋p＋q2%)2，因为1＋p%1＋q%≤1＋p%2＋1＋q%2＝1＋p＋q2%，且pq0，所以1＋p%1＋q%1＋p＋q2%，即(1＋p%)(1＋q%)(1＋p＋q2%)2，所以提价多的方案是乙．忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6(2)函数y＝1－2x－3x(x0)的最小值为________．易错分析(1)对x＋3y运用基本不等式得xy的范围，再对3x＋4y运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x0这个条件误用基本不等式得2x＋3x≥26.解析(1)由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)(15y＋35x)＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝135＋125＝5，当且仅当x＝1，y＝12时取等号，故3x＋4y的最小值是5.(2)∵x0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2－2x·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y有最小值1＋26.答案(1)C(2)1＋26温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．失误与防范1．使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23答案B解析∵0x1，∴1－x0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝34.当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号．2．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4答案C解析f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2.∵x2，∴x－20.∴f(x)＝x－2＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，“＝”成立．又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2答案A解析设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为sa＋sb，从而v＝2ssa＋sb＝2aba＋b.∵0ab，∴aba＋b2，2aba＋b2ab2b＝a，∴2a＋b1ab