2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第七章7.4

§7.4归纳与类比1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋)．(×)(6)2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋ba＝6ba(a，b均为实数)，则可以推测a＝35，b＝6.(√)2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27答案B解析5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的后四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125答案D解析55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N＋，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2011＝4×501＋7，所以52011与57后四位数字相同为8125，故选D.4．(2013·陕西)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为_________________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn＋12解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋12.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列．答案T8T4T12T8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此T8T4＝a5a6a7a8，T12T8＝a9a10a11a12，T16T12＝a13a14a15a16，而T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列.题型一归纳推理例1设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝33.证明：设x1＋x2＝1，∵f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝3x1＋3＋3x2＋33x1＋33x2＋3＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋33x1＋3x2＋3＝3x1＋3x2＋2333x1＋3x2＋2×3＝3x1＋3x2＋2333x1＋3x2＋23＝33.思维升华(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．(1)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________．(2)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，经计算得f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，则有____________________________________________．答案(1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81(2)f(2n)n＋22(n≥2，n∈N＋)解析(1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.(2)由题意得f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当n≥2时，有f(2n)n＋22.故填f(2n)n＋22(n≥2，n∈N＋)．题型二类比推理例2已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝nb－man－m.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.思维启迪等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算．答案n－mdncm解析设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝nb－man－m，所以类比得bm＋n＝n－mdncm思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(1)给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝a2＋b22(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.答案(1)B(2)a2＋b2＋c22解析(1)①②错误，③正确．(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径．题型三演绎推理例3已知函数f(x)＝－aax＋a(a0，且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于点(12，－12)对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y＝f(x)的图像上的任一点关于对称中心的对称点仍在图像上．小前提是f(x)＝－aax＋a(a0且a≠1)的图像关于点(12，－12)对称．(1)证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f(1－x)＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a·axa＋a·ax＝－axax＋a，∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图像关于点(12，－12)对称．(2)解由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．已知函数y＝f(x)，满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明设x1，x2∈R，取x1x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0，∵x1x2，∴f(x2)－f(x1)0，f(x2)f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为nn＋12＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n，k)，然后求N(10,24)．解析由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，∴N(10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1100－100＝1000.答案1000(2)(5分)若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2＋y0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)外