2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章6.3

§6.3等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠16．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(5)若{an}是等比数列，则S1·S2·…·Sk＝0(k≥2，k∈N)的充要条件是an＋an＋1＝0.(√)(6)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(Y－X)＝X(Z－X)恒成立．(√)2．(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24答案A解析由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.3．(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－7答案D解析方法一由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.方法二由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.4．(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案22n＋1－2解析设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝a11－qn1－q＝2n＋1－2.5．(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.答案2n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a25＝a100，根据已知条件得21q＋q＝5，解得q＝2.所以a21q8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.题型一等比数列的基本运算例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.思维启迪利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算．答案(1)B(2)4或－4解析(1)显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1a11－q31－q＝7，解得a1＝4q＝12或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.所以a1＝1q＝2或a1＝－16q＝12.故a3＝4或a3＝－4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．12(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于()A．3B．4C．5D．6(3)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158答案(1)C(2)B(3)C解析(1)∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10，即am＝a1·q10，∴m＝11.故选C.(2)因为3S3＝a4－2，①3S2＝a3－2②①－②得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，则q＝a4a3＝4.(3)若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6得9×a11－q31－q＝a11－q61－q，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，1an＝(12)n－1.所以数列{1an}是以1为首项，以12为公比的等比数列，其前5项和为S5＝1×[1－125]1－12＝3116.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝_______.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.思维启迪利用等比数列的项的性质和前n项和的性质求解．答案(1)51(2)－12解析(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．52B．7C．6D．42(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N＋)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为()A．4B．7C．10D．12(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.答案(1)A(2)A(3)－78解析(1)把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝5×10＝52.(2)因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a2m，又由题中am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2.由等比数列的性质可知前(2m－1)项积为T2m－1＝a2m－1m，即22m－1＝128，故m＝4.(3)根据等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8,7－8，S9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S9－7)．解得S9＝718.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝718－8＝－78.题型三等比数列的判定例3已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．思维启迪(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．(2)由cn求an再求bn.(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.思维升华注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又Sn＋1＝4an＋2，①Sn＝4an－1＋2，②①－②，得an＋1＝4an－4an－1，所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以an＋12n＋1－an2n＝34，故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．所以an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，得an＝(3n－1)·2n－2.等比数列求和忽视公比q的范围致误典例：(5分)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2,3，…)．则q的取值范围为________．易错分析本题易忽视q的范围，由于等比数列求和公式中分两种情况q＝1和q≠1，而本题未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式Sn＝a11－qn1－q.解析因为{an}为等比数列，Sn0，可以得到a1＝S10，q≠0，当q＝1时，Sn＝na10；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q0，即1－qn1－q0(n＝1,2,3，…)，上式等价于不等式组1－q0，1－qn0，(n＝1,2,3，…)，①或1－q0，1－qn0，(n＝1,2,3，…)．②解①式得q1，解②式，由于n可为奇数，可为偶数，得－1q1.综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案(－1,0)∪(0，＋∞)温馨提醒