2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4第1讲坐标系

选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系一、填空题1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点2，π6到直线l的距离为________．解析∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点2，π6化为直角坐标为(3，1)，∴点2，π6到直线l的距离为2.答案22．在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A4，π6到圆心C的距离是________．解析将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A到圆心的距离为0－232＋2－22＝23.答案233．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－22sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析由ρ＝6cosθ－22sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－22ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋22y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.答案ρcosθ＝34．在极坐标系中，点M4，π3到曲线ρcosθ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋32＝2.答案25．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝8的距离的最大值是________．解析把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋3sinθ)＝8化为直角坐标方程为x＋3y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.答案86．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝π4，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.解析曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由ρ＝2cosθ，θ＝π4得ρ＝2，θ＝π4，即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB＝2.答案27．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcosθ＝0，点P的极坐标为2，π2过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcosθ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为|－k＋2|k2＋1＝1，∴k＝34，即tanα＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43.答案438．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×－2＋m|5＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0或m＞10.答案(－∞，0)∪(10，＋∞)二、解答题9．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为4，π2，若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．解(1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tanπ3，此方程可化为y＋5sinπ3＝x－1cosπ3，令y＋5sinπ3＝x－1cosπ3＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为x＝12a＋1，y＝32a－5(a为参数)．如图，设圆上任意一点为Q(ρ，θ)，则在△QOM中，由余弦定理，得QM2＝QO2＋OM2－2·QO·OMcos∠QOM，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcosθ－π2.化简得ρ＝8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是3x－y－5－3＝0，圆心M到直线l的距离d＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32＞4，所以直线l和圆C相离．10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解ρ＝2，ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t(－3≤t≤3)．或参数方程写成x＝1，y＝y－3≤y≤3法二将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ－π3≤θ≤π3.