2015年高中数学直接证明与间接证明专题自测试题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2015年高中数学直接证明与间接证明专题自测试题【梳理自测】1．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)·(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法3．(教材改编)设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞04．(教材改编题)要证明3＋7＜25，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．特殊值法D．其他方法5．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是________．答案：1.D2.B3.D4.B5.3a≤3b◆以上题目主要考查了以下内容：(1)直接证明①综合法a．定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．b．框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．②分析法a．定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．Xk-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----B1.comb．框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．(2)间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．【指点迷津】1．一个关系综合法与分析法是一种互逆关系：即相逆的推理过程．2．两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．考向一综合法的应用例题1已知f(x)＝lnx1＋x－lnx，f(x)在x＝x0处取最大值，以下各式正确的序号为()①f(x0)＜x0②f(x0)＝x0③f(x0)＞x0④f(x0)＜12⑤f(x0)＞12A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤【审题视点】此题是比较函数最大值，f(x0)与数x0和12的大小关系．用综合法推导f(x)的单调性及结论．【典例精讲】f′(x)＝[(lnx)·(11＋x－1)]′＝1x(11＋x－1)－lnx（1＋x）2＝－lnx＋x＋1（1＋x）2，由题意可知f′(x0)＝0，即lnx0＋x0＋1＝0，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----lnx0＝－(x0＋1)，故f(x0)＝lnx01＋x0－lnx0＝－x0lnx01＋x0＝x0（1＋x0）1＋x0＝x0.令函数g(x)＝lnx＋x＋1(x＞0)，则g′(x)＝1x＋1＞0，故函数g(x)为增函数，而g(12)＝ln(12)＋32＞32－lne＝12＞0＝g(x0)，∴x0＜12，即f(x0)＜12.故选B.【类题通法】综合法的思维特点是由已知入手推出结论：此题的推理是：①已知f(x0)最大⇒f′(x0)＝0⇒f(x0)＝x0；②g′(x)＞0⇒g(x)增⇒x0＜12⇒f(x0)＜12.变式训练1．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)，∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ac＞0.由于a，b，c是不全相等的正数，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc＞0成立．上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2＞lg(abc)，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.考向二分析法的应用例题2已知函数f(x)＝3x－2x，求证：对于任意的x1，x2∈R，均有f（x1）＋f（x2）2≥f(x1＋x22)．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----【审题视点】把12[f(x1)＋f(x2)]和f(x1＋x22)分别用函数写出来，逐步分析要证的不等式．【典例精讲】要证明f（x1）＋f（x2）2≥f(x1＋x22)，即证明（3x1－2x1）＋（3x2－2x2）2≥3x1＋x22－2·x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22－(x1＋x2)≥3x1＋x22－(x1＋x2)，即证明3x1＋3x22≥3x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22≥3x1·3x2，由于x1，x2∈R时，3x1＞0，3x2＞0，由基本不等式知3x1＋3x22≥3x1·3x2显然成立，故原结论成立．【类题通法】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．变式训练2．已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角．证明：要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明cosB＝a2＋c2－b22ac＞0，即需证a2＋c2－b2＞0.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证a2＋c2－b2＞0.只需证2ac－b2＞0.∵a，b，c的倒数成等差数列，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----∴1a＋1c＝2b，即2ac＝b(a＋c)．∴要证2ac－b2＞0.只需证b(a＋c)－b2＞0，即b(a＋c－b)＞0.上述不等式显然成立．∴B必为锐角．考向三反证法例题3(2014·浙江杭州模拟)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．【审题视点】(1)用增函数定义证明；(2)假设有负数根，根据指数函数性质证出矛盾．【典例精讲】(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0.∵a＞1，∴ax2－x1＞1且ax1＞0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝（x2－2）（x1＋1）－（x1－2）（x2＋1）（x1＋1）（x2＋1）＝3（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）＞0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＞0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1.∵a＞1，∴0＜ax0＜1，∴0＜－x0－2x0＋1＜1，即12＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----【类题通法】当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．变式训练3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解析：(1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0.∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．反证法证明题的规范答题典型例题(2013·高考陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----【审题视点】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【思维流程】第1步当q＝1时，求Sn.第2步当q＝1时，构造qSn.第3步错位相减．第4步假设结论、构造等式．第5步转化为关于q的方程，得出矛盾．第6步得出正确结论．【规范解答】(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；2分第1步当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②第2步①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，4分∴Sn＝a1（1－qn）1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q，q≠1.6分第3步(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，8分第4步a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，11分第5步∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.12分第6步【规范建议】(1)推导Sn时，不可漏掉q＝1.(2)假设{an＋1}是等比数列时，不可用a1＋1，a2＋1与a3＋1建立关系来说明矛盾．真题体验-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----1．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C1：x2sin2θ－y2cos2θ＝1与C2：y2cos2θ－x2sin2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：选D.先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ，虚半轴长分别是cosθ和sinθ，则半焦距c都等于1，故选D.2．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋1aC．(b－a3)b－a3－1a＝0D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0解析：选C.根据直角三角形的直角的位置求解．若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝π2，则b＝a3≠0.若∠B＝π2，根据斜率关系可知a2·a3－ba＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．3．(2013·高考浙江卷)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB→·PC→≥P0B→·P0C→，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC解析：选D.根据向量投影的概念，对选项逐一验证排除不符合的选项．不妨设AB＝4，则P0B＝1，P0A＝3.设点C在直线AB上的投影为点C