2序列FT和Z变换

1信号与系统中，分析方法有两种，即时域分析：频域分析：时域频域，采用连续信号的傅立叶变换拉普拉斯变换Chap2序列的FT和Z变换§1、序列的傅立叶变换一、时域离散信号的FT定义：连续时间信号的FT：dejFtfdtetfjFtjtj)()()()(21时域离散信号的FT定义：deeXnxenxeXnjjnnjj)()()()(21二、序列FT存在的条件：例如：x(n)=u(n)计算序列x(n)=anu(n)的傅立叶变换(其中|a|1)。nnx)(三、信号频域表示的基本属性1.X(ej)具有周期性：以2为周期。证明:2.X(ej)是一复数函数。3.X(ej)表示成极坐标形式。例题：例2.2.1补充例：计算序列的傅立叶变换R6(n)。四、系统的频率响应——系统的单位取样响应序列h(n)对应的傅立叶变换H(ej)，就称为系统的频率响应，又称系统的传输函数。h(n)——表征了离散系统的时域特性；H(ej)——表征了离散系统在频域中的特性。nnx)(例题：例、已知一理想低通滤波器的频率响应H(ej)，试求该系统的单位取样响应。(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)cc)(jeH五、序列傅立叶变换的性质1、线性：)((n)]T[x11jeXF)((n)]T[x22jeXF则：)()((n)]bx(n)T[ax2121jjebXeaXF2、时域翻转定理)(nx－)(jeX－3、时移和频移特性：)(T[x(n)]jeXF则：)(x(n)]T[)()]n-T[x(n)(0000jnjjnjeXeFeXeFn0为任意整数，n0为正时是延迟，n0为负时是超前。五、频域微分)(nnxdedXjj)(定理证明：例题：6、时域卷积定理：离散信号通过系统后，输出信号的频谱等于输入信号的频谱和系统频率响应的乘积。（证明：）7、频域卷积定理：两个相乘序列的傅立叶变换是该两序列各自傅立叶变换的卷积。8、帕斯瓦尔定理：还有其他一些性质，如对称性见书上表2.2.1，若)((n)jeXx则：d)X(e|)(|-2j212nnx物理意义：时域的序列能量=频域的频谱能量9§2、序列的Z变换在模拟信号和系统中：用傅立叶变换进行频域分析推广：用拉普拉斯变换进行复频域分析在时域离散时间的系统中：用序列的傅立叶变换进行频域分析推广：用Z变换进行复频域分析一、Z变换的定义P.46例1：计算序列x(n)=ku(n)的z变换。二、Z变换的收敛域1.X(z)的收敛域——使序列x[n]的Z变换X[z]收敛的复平面上所有Z的集合，称为该Z变换的收敛域，记为ROC(RegionofConvergence)。2.收敛域的范围：下面来看具体的例子：相同X(z)表达式，随z域不同而对应的序列也不同。所以，在说明某解析函数是某个序列的Z变换时，要同时给出收敛域。nnznxnxzX)()]([)(三、序列的性质与收敛域的位置关系：1.左边序列2.右边序列3.双边序列4.有限长序列一些常用序列的Z变换及其收敛域，见书上的P.54表2.5.11.有限长序列n0)()(21其它，，NnNnxnx收敛域：至少包含z0例题：求序列(n)、RN(n)的z变换。解：(1)1)0()()()(0zznznxzXnnnn，（z0）（这是一个N1=N2＝0的有限长序列的特例。）(2)11011)()(zzzznRzXNNnnnnN，（z0）例题：求序列(n)、RN(n)的z变换。zzz0,0N0N0,0N0,0N2121收敛域为且当收敛域为当收敛域为当2.右边序列11Nn0)()(Nnnxnx，，xRz收敛域：例2.5.3：求序列)()(nuanxn的z变换。解：上面已经求出：zzzX)(（z）若0N1，X(z)在处也收敛，收敛域范围为：zRx推论：若某序列的z变换收敛域包含，则该序列是因果序列。3.左边序列22Nn0)()(Nnnxnx，，xRz收敛域：例2.5.4：求序列)1()(nunxn的z变换。解：上面已经求出：zzzX)(（z0）若0N2，X(z)在0处也收敛，收敛域范围为：xRz04.双边序列xxRzR收敛域：解：01)()(nnnnnnnnzzznxzX当,1时101111zzzzznnnnnn（1z）当,1时无公共收敛区域，所以X(z)不存在。例题2.5.5：求序列nnx)(的z变换（为实数）。01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX四、X(z)的零极点表示于收敛域关系1、零点——使X(z)0的根称为零点。2、极点——使X(z)的根称为极点。)()()(zQZPzX——0零点：使P(z)＝0的根——0极点：使Q(z)＝0的根零点，在收敛域上用小圆圈“。”表示；极点，用“”表示。极点处X(z)无定义，收敛域不包含极点，而是以它们为边界。右边序列:|X(z)|Rx-，Rx-=max{|pk|}（除了远处的极点外）左边序列：|X(z)|Rx+，Rx+=min{|pk|}（除了z=0处的极点外）双边序列：Rx-|X(z)|Rx+§3Z反变换定义——已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。)]([)(1zXZnx记作：cndzzzXj1)(21围线积分路线C是：在X(z)收敛域内、绕原点的一条反时针方向的闭合围线。（证明：Z的反变换定义式）)(xxRRC，一、用留数定理法求逆Z变换1、数学基础：留数定理：函数在极点上的留数：MmpzKkpzCzFjzFjdzzFresresmk11)}({2)}({2)(rrzzrZZzFzzzFs)]()[()]([Re一阶极点：rrzzlrllzzzFzzdzdlzFsl)]()[()!1(1)]([Re11阶极点：2、用留数法计算得序列x(n)x(n)=cmzznnckzznnmkzzXsdzzzXjzzXsdzzzXj])([Re)(21])([Re)(211111zk——X(z)zn-1在围线C内的极点；zm——X(z)zn-1在围线C外的极点；两种情况下的反变换。）（，求在收敛域例：已知4)2(41))(4()(41412zzzzzzX二、部分分式展开法1、部分分式展开法——将X(z)展开成部分分式之和，然后查表2.5.1序列z变换表，将各个逆变换对应的序列相加即得到所求的x(n)。2、确定系数Ak、Bj；序列的Z变换常可表示成有理分式：)()()(zQzPzX。对于工程上使用的离散信号序列（因果序列），为了保证在z处收敛，多项式)(zQ的阶次N应高于)(zP的阶次M。这时可以先把)(zX用部分分式法分解成低次分式之和，再求各低次分式的反变换的叠加等于)(nx。即zXzXzXzQzPzXk....213、利用公式法求z反变换的步骤：•将X(z)根据极点情况展开成部分分式之和；•求系数Ak和Bj；•查表确定各分式的反变换；•各序列相加例：利用部分分式展开法逆变换。）的（求z2z)5.01)(21(1)(X11zzz例：求143)(2zzzzX的Z反变换。解：)1()1()1)(1(1)(1312111311131231134131zczczzzzzzzX021cc，311312cc解得：211c，212c)(zX的极点为11z，312z，根据不同的ROC得反变换。（1）1:zROC得右边因果序列：)()()()(312121nununxn（2）311:zROC得双边序列：)()()1()(312121nununxn（3）31:zROC得左边序列：)1()()1()(312121nununxn例题：部分分式法三、幂级数展开法（长除法）1.原理2.运算注意点•首先，X(z)表示成P(z)/Q(z)的形式；•作长除运算时，注意P(z)、Q(z)的排序当收敛域|z|Rx-x(n)是右边序列N(z)、D(z)按z的降幂次(z-1的升幂次)排列当收敛域|z|Rx-x(n)是左边序列N(z)、D(z)按z的升幂次(z-1的降幂次)排列反变换。上的和求当，试用长除法分别例、已知z1143)(312zzzzzzX§4、Z变换的性质和定理1、线性性：相加后Z变换的收敛域一般为两个序列原来收敛域的交集，某些情况下个别零点和极点相互抵消后可能扩大收敛域。2、时移特性：R:ROC)([x(n)]zXZ则：z00z0R:ROC)()]n[x(n0000nnzXznZ111RROC)((n)][x：zXZ222RROC)((n)][x：zXZ则：212121RRROC)()((n)]bx(n)[ax：zbXzaXZn0为任意整数，n0为正时是延迟，n0为负时是超前。2.5Z变换的性质：3、频移特性：4、序列卷积特性：（证明）R:ROC)([x(n)]zXZ则：R:ROC)e(x(n)][ejnjzXZ111R:ROC)((n)][xzXZ222R:ROC)((n)][xzXZ则：212121RR:ROC)()((n)]x(n)[xzXzXZ5、初值特性：如果0n0x(n)（因果序列）则：)(limx(0)zXz2.5Z变换的性质：6、序列乘积的Z变换(复卷积特性)：7、序列乘以nX(z)的微分（证明）111RROC)((n)][x：zXZ222RROC)((n)][x：zXZ则：211-2121RRROCdvv)()(21(n)]x(n)[x：cvzXvXjZC是收敛域中一条包围原点的闭曲线。若R:ROC)((n)zXx则：R:ROC)(dzzdX-zx(n)n若R:ROC)((n)zXx则：R:ROC)((n)zXx。若)((n)jeXx则：d)X(e|)(|-2j212nnx物理意义：时域的序列能量=频域的频谱能量2.5Z变换的性质：8、共轭序列的Z变换：9、帕斯瓦尔定理：§5、系统函数一、系统函数的定义：二、系统函数与差分方程的关系：对差分方程：MiiNkkinxbknya00)()(两边作Z变换。因为kzzXknxZ)()]([，再进行整理得：NkkkMiiizazbzXzYzH00)()()(三、系统函数的收敛域与系统特性1、系统稳定性：2、系统因果特性：结论：系统函数)(zH的收敛域满足||1:zRROC，即所有的极点都在单位圆内，为LTI系统是因果稳定的充要条件。如果)(zH的收敛域包括单位圆，即nnnjeznhenhzHj|)(||)(|)(，则系统稳定。如果)(zH的收敛域包括无穷远点，即0)()(nnznhzH，00)(nnh，则系统因果。把系统函数表示为：NiiMkkNMNiiMkkNMNiiiMkkkzdzcAzdzczAzzbzazH11)(11)(11)()()()()(其中：k