2弹性复杂应力应变状态下的强度理论(2、3章)现代设计与分析研究所何雪浤常规机械强度理论设计计算步骤21.由理论力学确定零构件所受外力;2.由材料力学(有时采用弹性力学或塑性力学)计算其内力;3.由机械原理和机械零件确定其结构尺寸和形状;4.计算该零构件的工作应力或安全系数。常规机械强度理论存在问题31.应力的多轴性和变形的弹塑性;2.疲劳破坏的普遍性;3.疲劳与蠕变的交互作用;4.强度中的寿命计算;5.疲劳强度可靠性;6.局部应力应变分析;7.断裂力学;…应力的多轴性问题][max,maxAFN(拉压)][maxmaxWM(弯曲)(正应力强度条件)][*maxzzsbISF(弯曲)(扭转)][maxpWT(切应力强度条件)][max][max杆件基本变形下的强度条件应力的多轴性问题问题的提出复杂应力状态下强度设计的计算准则是什么?思考问题的基本思路可否考虑简单应力状态下的材料强度性能建立设计准则?如何求解一点处的应力应变?对一点处的应力应变状态进行分析,以寻找强度计算用的有效量。][eq弹性复杂应力应变状态下强度理论目的建立复杂应力状态下强度设计的计算准则方法用线弹性方法求解一点处的应力应变(第2章)分析一点处的应力应变状态(第3章)应力应变状态的坐标变换:寻找强度计算用的有效量建立强度准则(第3章)72、3章基本思路8弹性力学基本方程一点处的应力应变主应力主应变复杂应力状态下的设计计算最终目的强度准则坐标变换方程求解:解析法、有限元法92弹性问题的基本方程弹性力学的性质和任务弹性力学的基本假设弹性力学的基本研究方法弹性力学的平面问题10弹性力学的性质和任务研究弹性体在外部因素(外力、温度等)的作用下而产生的应力和应变,以及与应变有关的位移的一门学科。弹性力学的基本假设连续性假设均匀性、各向同性假设完全弹性假设无初应力假设小变形假设12弹性力学的基本研究方法•三个基本方程–微单元体受力的平衡微分方程–微单元体变形的几何方程–应力与应变关系的物理方程•两个边界条件–力的边界条件:静力等效的圣维南原理–几何边界条件:几何连续的变形协调方程平衡方程XYZxyzdxdydzdxxxxxyxzxdzzzxzx0xFdyyyxyx14平衡方程000ZzyxYzyxXzyxzyzzxzyyxyzxyxx六个未知量三个方程几何方程(以XOY平面为例分析)OyxPABuvdxxuudxxvvdyyvvdyyuuP'A'A''B'B''αβdxdy16几何方程zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx九个未知量六个方程17物理方程GGGEEEzxzxyzyzxyxyxyzzzxyyzyxx,,)]([1)]([1)]([118圣维南原理—局部影响原理如果将作用在弹性体表面的某一个不大的局部面积上的力系,用作用在同一局部面积上的另外形式的静力等效力系所代替,那么载荷的这种重新分布对弹性体内应力分布的影响,只有在距离载荷作用的局部面积很近的地方才显著,而在距离载荷作用的局部面积较远的地方可以忽略不计19圣维南原理—静力当量载荷的弹性等效原理20变形协调方程21变形协调方程以xoy面的变形为例位移的几何方程xux–变形的几何方程yxxyxyyx22222yvyyuxvxy22弹性力学的平面问题平面应力问题平面应变问题薄板问题:应力是平面的坝体或管道问题:应变是平面的平面应力问题图示等厚度薄板,沿z方向尺寸t很小,可假设表面力只作用于板边上,且平行于板面(xy平面),不随厚度变化;假设体力也平行板面,不随厚度变化。在全板内,,且与z无关,只是坐标x、y的函数。符合这种假设的应力状态,称为平面应力状态。0zyzxz平面应变问题假设物体沿厚度z方向的尺寸很大,例如很长的坝体或很长的管道;同时假设外力只作用在垂直于z轴的xy平面内,且不随z而变化。在这种情况下,可以假设,物体远离两端的部分,由于受到约束,将不发生沿z轴的位移,即w=0,因而;在xy平面内的位移、应变、应力均与z无关。符合这种条件的应力应变状态称为平面应变状态。弹性问题求解的结果应力应变的状态变量zzzyzxyzyyyxxzxyxx2121212121212、3章基本思路26弹性力学基本方程一点处的应力应变主应力主应变复杂应力状态下的设计计算最终目的强度准则坐标变换方程求解:解析法、有限元法273弹性应力应变状态下应力应变分析及强度理论一点处的应力状态分析一点处的应变状态分析弹性的应力应变关系应变能弹性复杂应力应变状态下的强度理论283.1一点处的应力状态分析基本分析思路内容重点•应力的表示符号•主应力平面和主剪应力平面•主应力和主剪应力•应力不变量•八面体应力斜平面上应力平面坐标转换主应力平面主剪应力平面29(1)任意平面上的应力一点处的应力有九个应力分量:平面上)平面上)平面上)xoyzoxyozzzzyzxyzyyyxxzxyxx(((30(2)主平面、主应力、应力不变量主平面(找正应力)如果在某一斜平面ν上,只作用有正应力,而剪应力分量都等于零,那么该平面就称为主平面。——该状态下应力的特征平面。主应力主平面上的正应力目的:寻找其与9个分量之间的关系应力不变量在坐标变换过程中不变的三个应力值任意平面上的应力分析任意斜平面上的总应力、法向应力(正应力)和切应力nmlpnmlpnmlpzzyzxzzzyyyxyyzxyxxxx1222nmlnpmplpzyx22p32应力不变量zxyzxyxyzzzxyyyzxxzzyyxxzxyzxyxxzzzzyyyyxxzzyyxxIII2222321322213322123211032213III•3个实根——主应力;•相互垂直——主应力平面;••三个主平面的交线构成主平面坐标系。32133(3)主剪应力、主剪应力平面以主平面坐标作为研究的基础主剪应力剪应力的极大值主剪应力平面剪应力为最大的平面主剪应力平面上有正应力作用主剪应力、主剪应力平面主平面坐标设主应力的方向分别为x、y、z方向主平面坐标下任意斜平面上的应力212232221223222221232221nmlnmlnml2221mln2123232231232322223212][mlml剪应力为极值的平面的方向余弦前三列三组方向余弦所决定的平面实际上就是主平面坐标系中的坐标平面,在该平面上剪应力均等于零,这是剪应力的最小值。后三列三组方向余弦所决定的平面,其法线分别为垂直于x、y、z轴且平分其余两个坐标轴的射线。这些平面为最大剪应力平面(也称主剪应力平面)36主剪应力、主剪应力平面主剪应力平面上的剪应力和正应力133132232112212121211332212121,,38(4)八面体应力等倾八面体等倾斜平面31nml3311321232221321Inmlnpmplpoc平均正应力八面体剪应力1332212322212321232221222929131ococp2121323222131oc21222222631zxyzxyxxzzzzyyyyxxoc23122321232oc八面体应力的作用情况41(4)八面体应力——小结等倾八面体八面体上有相同的应力八面体正应力平均正应力八面体剪应力3311321Ioc2121323222131oc3zzyyxxoc21222222631zxyzxyxxzzzzyyyyxxoc23122321232oc423.2一点处的应变状态分析基本分析思路斜平面上应变平面坐标转换主应变平面内容重点•应变的表示符号•主应变平面•主应变•应变不变量•八面体剪应变和体积应变43(1)一点处的应变状态九个应变分量zzzyzxyzyyyxxzxyxx212121212121正应变:尺寸(体积)改变剪应变:形状改变44(2)主应变、主应变平面、应变不变量在研究应变问题时,可以找到三个互相垂直的平面,在这些平面上没有剪应变,这样的平面称为主应变平面(找正应变)主应变平面法线方向(主方向)的正应变称为主应变应变不变量在坐标变换过程中不变的三个应变值45应变不变量032213JJJ3211zzyyxxJ133221222241zxyzxyxxzzzzyyyyxxJ321222341zxyzxyxyzzzxyyyzxxzzyyxxJ46(3)八面体剪应变、单元体的体积应变八面体剪应变单元体的体积应变21323222132oc1321JzzyyxxKIKEzzyyxxzzyyxx33211213EK体积的弹性模量473.3弹性的应力应变关系三向应力状态下的虎克定律应力应变张量体积和形状的弹性变形规律48(1)三向应力状态下的虎克定律广义虎克定律GGGEEEzxzxyzyzxyxyyyxxzzzzxxzzyyyyzzyyxxxx,,11112EG(2)应力应变张量张量概念的引入在给定的受力情况下,各应力(应变)分量的大小与坐标轴的方向有关,而它们作为一个整体用来表示一点应力(应变)状态的这一物理量则与坐标的选择无关。这样的一组量称为张量。张量的表示应力、应变张量zzzyzxyzyyyxxzxyxxTzzzyzxyzyyyxxzxyxxT212121212121张量的运算张量可以相加、相减和相乘。两个张量相加和相减是指它们的对应分量相加或相减,这一点和矩阵的运算规律相同。52张量的分解应力张量的分解定义:平均应力DTT00000000000T000zzzyzxyzyyyxxzxyxxD应力球形张量应力偏斜张量改变体积改变形