2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库第10章第1讲椭圆

第十章圆锥曲线与方程第1讲椭圆一、填空题1．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1→·MF2→＝0，则点M到y轴的距离为________．解析由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)．设M(x，y)，则MF1→·MF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故x24＋y2＝1，即y2＝1－x24.②[来源:学_科_网]将②代入①，得34x2＝2，解得x＝±263.故点M到y轴的距离为263.答案2632．方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3DF1→＝DA→＋2DF2→，则该椭圆的离心率为________．解析设点D(0，b)，则DF1→＝(－c，－b)，DA→＝(－a，－b)，DF2→＝(c，－b)，由3DF1→＝DA→＋2DF2→得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝15.答案153．如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是________．解析由题得△PF1F2为直角三角形，设PF1＝m，∵tan∠PF1F2＝12，∴PF2＝m2，F1F2＝52m，∴e＝ca＝F1F2PF1＋PF2＝53.答案534．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝2，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．解析设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则A(a,0)，B(0，b)，Ca2，b2，F(a2－b2，0)．依题意，得a2－b2＝2，FM的直线方程是x＝2，所以M2，baa2－2.由于O，C，M三点共线，所以ba2－2a2＝b2a2，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.所求方程是x24＋y22＝1.答案x24＋y22＝15．已知F1，F2为椭圆x212＋y23＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且PF1＝t·PF2，则t的值为________．解析设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，故PF2＝b2a＝32，而PF1＋PF2＝2a＝43，∴PF1＝732，t＝7.答案76．设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________．解析PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋6－32＋42＝15.答案157．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－718，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.解析如图所示，设AB＝BC＝x，由cosB＝－718及余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝x2＋x2＋2x2×718，∴AC2＝259x2，∴AC＝53x.∵椭圆以A、B为焦点，∴焦距为2c＝AB＝x.又椭圆经过点C，∴AC＋BC＝53x＋x＝2a，∴2a＝83x，∴e＝ca＝38.答案388．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得x2＝3c2－a2a2c2，又x2∈[0，a2]∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝ca∈33，22.答案33，229．点M是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析由条件MF⊥x轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R＝b2a，圆心到y轴距离为c，若∠PMQ为钝角，则其一半应超过π4，从而cb2a22，则2ac2b2，即2ac2(a2－c2)，两边同时除以a2，则2e2＋2e－20，又0e1，∴0e6－22.答案0，6－2210.如图，已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为________．解析法一设M(2，t)，P(x0，y0)，则由A，P，M三点共线，得y0x0＋2＝t4，代入x204＋y202＝1，解得x0＝－2t2－8t2＋8，y0＝8tt2＋8，kPB＝y0x0－2＝8tt2＋8－2t2－8t2＋8－2＝－2t.设Q(q,0)，则kMQ＝t2－q＝－1kBP＝t2，解得q＝0，即得Q(0,0)．法二设M(2,2)，∵A(－2,0)，B(2,0)，∴MA的方程为：x－2y＋2＝0.由x－2y＋2＝0，2x2＋4y2＝8，解得P23，43.从而可知直线PB的斜率kPB＝－1，由直径上的圆周角是直角可知PB⊥MQ，∴kMQ＝1，于是可求得直线MQ的方程为x－y＝0.又Q点是直线MQ与x轴的交点，故Q点的坐标为(0,0)．答案(0,0)二、解答题11．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.(1)求椭圆方程；(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．解(1)由题意，即可得到x24＋y2＝1.(2)设直线MN的方程为x＝ky－65，联立直线MN和曲线C的方程可得x＝ky－65，x24＋y2＝1，得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，则AM→·AN→＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，即可得∠MAN＝π2.12．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，(c0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以a－c2＋b2＝2c.整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A、B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c.消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解为x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)，所以|AB|＝85c2＋335c＋3c2＝165c.于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝|－3－3－3c|2＝3|2＋c|2.因为d2＋|MN|22＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0.得c＝－267(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为x216＋y212＝1.13.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都是e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝12，求BC与AD的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2＋y2b2＝1，C2：b2y2a4＋x2a2＝1(a＞b＞0)．设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得At，aba2－t2，Bt，baa2－t2.当e＝12时，b＝32a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知BC∶AD＝2|yB|2|yA|＝b2a2＝34.(2)当t＝0时的l不符合题意，当t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即baa2－t2t＝aba2－t2t－a，解得t＝－ab2a2－b2＝－1－e2e2·a.因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以1－e2e2＜1，解得22＜e＜1.所以当0＜e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.14．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2，t)(t＞0)在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线FH，且与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．解(1)由2b＝2，得b＝1.又由点M在准线上，得a2c＝2.故1＋c2c＝2.所以c＝1.从而a＝2.所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋y－t22＝t24＋1.其圆心为1，t2，半径r＝t24＋1.因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝r2－1＝t2.所以|3－2t－5|5＝t2，解得t＝4.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(3)法一由平面几何知ON2＝OH·OM.直线OM：y＝t2x，直线FN：y＝－2t(x－1)．由y＝t2x，y＝－2tx－1，得xH＝4t2＋4.所以ON2＝1＋t24·|xH|·1＋t24·|xM|＝1＋t24·4t2＋4·2＝2.所以线段ON的长为定值2.法二设N(x0，y0)，则FN→＝(x0－1，y0)，OM→＝(2，t)，MN→＝(x0－2，y0－t)，ON→＝(x0，y0)．因为FN→⊥OM→，所以2(x0－1)＋ty0＝0.所以2x0＋ty0＝2.又MN→⊥ON→，所以x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0.所以x20＋y20＝2x0＋ty0＝2.所以|ON→|＝x20＋y20＝2为定值.