2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题10圆锥曲线

【2015年高考考纲解读】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求；(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求.（4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.【重点、难点剖析】1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)．2．圆锥曲线的标准方程[来源:gkstk.Com](1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(ab0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(焦点在y轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝ca＝1－b2a2；(2)双曲线：①e＝ca＝1＋b2a2.②渐近线方程：y＝±bax或y＝±abx.4．求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)；双曲线方程可设为x2m－y2n＝1(mn＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算．5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算．7．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.8．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．[来源:gkstk.Com]9．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.【高频考点】考点1、圆锥曲线的定义与标准方程【例1】(1)(2014·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1[来源:gkstk.Com]C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝1(2)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．【命题意图】(1)本题主要考查双曲线的概念及其几何性质、直线的斜率等知识，意在考查考生的转化与化归思想、数形结合思想的应用与运算求解能力．(2)本题主要考查椭圆的几何性质、向量的坐标运算等知识．根据线段长度|AF1|＝3|F1B|转化为向量的坐标运算求出点B的坐标，代入方程求b2的值，意在考查考生的转化与化归思想，运算求解能力，分析、解决问题的能力，逻辑推理能力．【答案】(1)A(2)x2＋32y2＝1【解析】(1)由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝bax与直线y＝2x＋10平行，所以ba＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为x25－y220＝1.故选A.(2)根据题意，求出点B的坐标代入椭圆方程求解，设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋y2b2＝1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0)．∵AF2⊥x轴，∴A(1－b2，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1→＝3F1B→，∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0)．∴x0＝－531－b2，y0＝－b23.∴点B的坐标为－531－b2，－b23.将B－531－b2，－b23代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.∴椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.【感悟提升】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2||F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2|||F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．【变式探究】设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________________．【答案】y24－x25＝1【解析】法一x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，根据定义2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求双曲线方程为y24－x25＝1.法二x227＋y236＝1的焦点坐标是(0，±3)，学优高考网设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则a2＋b2＝9，16a2－15b2＝1，解得a2＝4，b2＝5，故所求双曲线方程为y24－x25＝1.法三设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)，故所求双曲线方程为y24－x25＝1.【方法技巧】本例可有三种解法：一是根据双曲线的定义直接求解，二是待定系数法；三是共焦点曲线系方程，其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系，再根据另外的条件求出参数．【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________．【答案】x216＋y28＝1【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由e＝22，知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8，∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.考点2、圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2014·重庆)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D．3(2)(2014·湖南)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p0)经过C，F两点，则ba＝________.【命题意图】(1)本题主要考查双曲线的定义与性质，意在考查考生的基本运算能力．(2)本题主要考查抛物线的图象、性质和正方形的性质，结合数形结合思想、转化思想和方程思想求解参数的比值问题，关键是由BC＝CD得出点D为抛物线的焦点．【答案】(1)B(2)1＋2【解析】(1)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9ba2－9ba－4＝0，则3ba＋13ba－4＝0，解得ba＝43ba＝－13舍去，则双曲线的离心率e＝1＋ba2＝53.(2)由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，Dp2，0，Fp2＋b，b，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2pp2＋b＝a2＋2ab，变形得ba2－2ba－1＝0，解得ba＝1＋2或ba＝1－2(舍去)，所以ba＝1＋2.【感悟提升】1．圆锥曲线的离心率椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开口大小的一个量，其取值范围分别是0e1和e1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[来源:学优高考网gkstk]2．双曲线的渐近线(1)求法：把双曲线标准方程等号的右边1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得ba或ab的值；②利用渐近线方程来求双曲线的方程．(3)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线．这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离．(4)要能灵活运用平时解题过程中推导出来的一些结论，如椭圆中焦点三角形的面积公式S△F1PF2＝b2tanθ2，双曲线中的S△F1PF2＝b2tanθ2(其中θ＝∠F1PF2)等，可简化运算过程，节省时间．(上述结论可结合正、余弦定理推导)【变式探究】(2013·浙江卷改编)如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．【答案】62【解析】由题意可知|F1F2|＝23，∴c＝3.设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2，∴a＝2，∴e＝ca＝32＝62.【规律方法】求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a，c，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于a，c的方程，多为二次齐次式，然后通过