2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题17坐标系与参数方程

【2015年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：[来源:学优高考网gkstk](1)直线、曲线的极坐标方程；(2)直线、曲线的参数方程；(3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化，本内容的考查要求为B级.[来源:学优高考网]【重点、难点剖析】1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；[来源:学优高考网gkstk](3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．[来源:学优高考网gkstk]4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθ，y＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数).【高频考点】热点一极坐标方程和参数方程【例1】(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程．(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为x＝cost，y＝2sint(t为参数)．(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程并整理，得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝34sinθ－2cosθ.【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．【变式探究】(2013·新课标全国Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【解析】(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α(α为参数，0α2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0α2π)．当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【规律方法】要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答．【变式探究】在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．热点二极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【例2】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.【解析】(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝23.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．【解析】(1)由ρ＝6cosθ得；ρ2＝6ρcosθ，∴x2＋y2＝6x，由θ＝π4(ρ∈R)得：y＝x，(2)圆的x2＋y2＝6x圆心(3,0)，半径＝3，圆心到直线AB的距离＝|3－0|2＝32，∴AB＝232－322＝32.热点三参数方程及其应用【例3】(2014·福建)已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围．【解析】(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，[来源:学优高考网]故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【变式探究】已知直线l：x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|的值；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解析】(1)l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得l与C1的交点为A(1,0)，B12，－32，则|AB|＝1.(2)C2的参数方程为x＝12cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)．故点P的坐标是学优高考网12cosθ，32sinθ.从而点P到直线l的距离d＝32cosθ－32sinθ－32＝342sinθ－π4＋2，当sinθ－π4＝－1时，d取得最小值，且最小值为64(2－1).【能力突破】[来源:学优高考网]难点一、极坐标方程与参数方程的综合应用例1、(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程及其应用，直线与圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．【解题思路】(1)先由曲线的极坐标方程写出其直角坐标方程，再判明曲线为半圆后写出对应的参数方程．(2)由相切性质可知，CD所在直线斜率与已知直线斜率相同，结合圆中参数t的意义知t＝π3，代入参数方程即得D点的坐标．【解析】(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝sint(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32，32.【感悟提升】方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．常见题型及解题方法(1)求相关动点的轨迹方程时，用参数方程较为方便．(2)求两点间距离时，用极坐标比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法，易得解题思路．【举一反三】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．(2)由(1)知，椭圆C1与直线C2无公共