2曲线参数方程(概念圆的参数方程参数与一般方程互换课件(新人教A版必修4-4)

参数方程第二讲本讲介绍了参数方程的概念，常用曲线的参数方程及利用参数方程求最值．重点在于直角坐标系下的方程与参数方程的互化，难点是特殊参数方程中参数的几何意义．另外，在本讲的最后介绍了圆的渐开线和摆线，要求学习者了解圆的渐开线和摆线的生成过程及它的参数方程，学习用向量知识推导运动轨迹的方法和步骤．方法指导：1．参数的选取要使它的x，y之间具有明显的函数关系，且以容易列出其相应的解析式为宜．2．我们所学的参数方程都是就直角坐标系而言的，实际上，对于其他坐标系，比如极坐标系，也同样可以建立相应的参数方程．3．要注意运用已有的平面向量，三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程．4．在本讲内容的学习中，根据问题的几何性质或物理意义选择适当的参数非常关键，也是学生会感到困难的地方，另外，参数的变化范围也是参数方程中必不可少的一部分．5．可以借助多媒体技术展示圆的渐开线及摆线，让学生体会数学曲线的美.一、曲线的参数方程【学习目标】1．知道参数方程、普通方程的概念，通过参数方程和普通方程的比较，体会两者的区别和联系．2．能学会圆的参数方程及其参数的意义．3．能用圆的参数方程解决一些简单问题．4．能进行普通方程和参数方程互化．目标导航【目标解读】重点：曲线参数方程与普通方程的概念，圆的参数方程，参数方程与普通方程互化．难点：圆的参数方程的求法及两种方程的互化．在研究物体的曲线运动过程中，往往需要对物体的每一时刻的运动情况作更为详实的描述，这时仅使用一般的曲线方程已显不足，如能引入一个参数来描述会更为方便、实用．设炮弹发射角为θ0，发射初速度为v0，怎样求弹道曲线的方程(空气阻力不计)?情境切入(对应学生用书P15)课前自主预习感悟教材·学与思1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个实数t的函数x＝ft，y＝gt，(*)并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的__________，联系变数x，y的变数t叫做________，简称_____．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_________．参数方程参变数参数普通方程参数t是联系x，y的桥梁，它可以有物理意义或几何意义，也可以是没有明显实际意义的变数．特别提醒问题探究1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？提示：问题探究2：如何判断点与曲线的位置关系？提示：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)对于曲线C的参数方程x＝ft，y＝gt(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则x1＝ft，y1＝gt对应的参数t有解，否则参数t不存在．为了方便验证点是否在曲线上，通常将曲线的参数方程化为普通方程．【例1】质点从点A(1,0)出发，沿倾斜角为30°的方向，以2m/s的速度运动，那么质点运动的参数方程是__________．【解析】如下图，设经过ts质点运动到M(x，y)，则x＝1＋2tcos30°＝1＋3t，y＝2tsin30°＝t.故质点运动的参数方程是x＝1＋3t，y＝t(t为参数)．【答案】x＝1＋3t，y＝t(t为参数)设飞机以匀速v＝150m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹的参数方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标？[解](1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0,588)，B为目标，坐标为(x0,0)，g＝9.8m/s2.记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹水平速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得x＝v0t，y＝588－12gt2，即x＝150t，y＝588－4.9t2.这是炸弹飞行曲线的参数方程．(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4.9t20＝0，解得t0＝230.由此得x0＝150×230＝30030≈1643(m)，即飞机在离目标约1643m(水平距离)处投弹才能击中目标．4．已知x＝t＋1，y＝t2(t为参数)，若y＝1，则x＝________.[解析]若y＝1，则t2＝1，则t＝±1，∴x＝0或2.[答案]0或25．已知曲线C：x＝t＋a，y＝t2＋a2(t为参数，a为常数)过点(1,5)，则a＝________.[解析]由题意，得t＋a＝1，t2＋a2＝5，①②由①得t＝1－a，代入②得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.[答案]－1或2圆的参数方程2?,.,.中点的位置呢怎样刻画运动那么图速圆周运动物体中各个点都作匀定轴作匀速转动时当物体绕常见的圆周运动是生产生活中3232图.,,.,,.,,)(,,为参数因此可以取惟一确定的位置由时刻点显然建立直角坐标系轴所在的直线为为原点以圆心转动的角速度为绕点点动上作匀速圆周运按逆时针方向在圆出发置时的位从初始位置点的半径是设圆如图ttMxOMOOMOtMMrO00042.,,,,tyxMt那么坐标是转过的角度是点如果在时刻有那么由三角函数定义设,,||rOM,sin,cosrytrxt即为参数t.sin,costrytrxrMOxy0M42图..,时刻质点作匀速圆周运动的确的物理意义有明其中的圆的参数方程半径为这是圆心在原点trO于是有为参数也可以取考虑到,,t.为参数.sin,cosryrx.,.,转过的角度置时的位逆时针旋转到绕点的几何意义是数其中参的圆的参数方程半径为这也是圆心在原点00OMOMOOMrO.,,.,.,,,.,值范围要注明参数及参数的取数方程时在建立曲线的参另外相同的却可以是们表示的曲线它形式不同的参数方程形式数方程也可以有不同的因此得到的参参数可以选取不同的变数为一条曲线同一般地圆有不同的参数方程由于选取的参数不同要点二圆的参数方程的应用1.圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为x＝rcosθ，y＝rsinθ.(θ为参数，θ∈[0,2π))(2)圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ.(θ为参数，θ∈[0,2π))2．辅助角公式asinθ＋bcosθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)(其中tanφ＝ba且φ的终边过点(a，b))．3．圆的参数方程的应用当点在已知圆上变化时，可用圆的参数方程表示其坐标，从而可以把与圆上点的坐标有关的最值、范围问题转化为三角函数的最值、范围问题．.,.,,,,,的轨迹的参数方程求点匀速圆周运动时作绕当点的中点是轴上的定点是是圆上的动点径为的半圆如图例MOPPQMxQPO062522的参数方程是则圆为参数取分析OxOP,.为参数.sin,cosryrx.,.,,,,,为参数是合适的选于是定的决的运动可以看成是由角点所以运动从而使点也随之变动线段上运动在定圆动点变化时当MMPQOP。MOPyx6,0Q52图。MOPyx6,0Q52图公式可得由中点坐标的坐标是则点的坐标是设点解.sin,cos,,,22PxOPyxM.sinsin,coscos223262yx的轨迹的参数方程是点所以M,.sin,cosyx3为参数?,?,?,轨迹又是什么内在圆如果点什么轨迹是上在圆如果点迹是什么曲线吗你能判断这个轨在圆外这里定点思考OQOQQ.,,们的轨迹是什么曲线并指出它形成轨迹的过程位置动点在各不同分别观察点通过动画演示MQ如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中心M的轨迹方程．[解]设点M(x，y)．∵圆x2＋y2＝16的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ，(θ为参数)∴设点P(4cosθ，4sinθ)，由线段中点坐标公式得x＝4cosθ＋122，y＝4sinθ2，(θ为参数)即点M的轨迹的参数方程为x＝2cosθ＋6，y＝2sinθ，(θ为参数)∴点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，2为半径的圆．若x、y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝2x＋y的最值．【分析】由于参数方程是将曲线上的点的坐标x，y描述为参数的函数，也就是说变量x，y可以用同一个变量来表示，从而把S＝2x＋y转化为一元函数求解．【解】由(x－1)2＋(y＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，设x＝1＋2cosθ，y＝－2＋2sinθ，∴S＝2x＋y＝2＋4cosθ－2＋2sinθ＝4cosθ＋2sinθ＝25sin(θ＋φ)，其中cosφ＝55，sinφ＝255.∴－25≤S≤25.∴S的最大值为25，最小值为－25.在研究一些求最值等问题时，可以利用圆的参数方程来将问题合理地转化，建立代数与三角函数的联系，利用三角函数的值域求解．解决此类问题还要注意数形结合思想的应用．名师点评点A(3,0)是圆x2＋y2＝9上的一个定点，在圆上另取两点B，C，使∠BAC＝π3，求△ABC重心的轨迹．【分析】利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型．可以根据已知条件，用圆的参数把动点的坐标表示出来，然后利用坐标之间的关系，得到动点的轨迹方程．【解】不妨设B(3cosθ，3sinθ)，C3cosθ＋2π3，3sinθ＋2π3，0θ4π3.设重心为G(x，y)，则x＝133＋3cosθ＋3cosθ＋2π3＝1＋cosθ＋π3，y＝130＋3sinθ＋3sinθ＋2π3＝sinθ＋π3，消去θ得(x－1)2＋y2＝1.∵0θ4π3，π3θ＋π35π3，－1≤cosθ＋π312，∴0≤x32.故重心G的轨迹方程是圆(x－1)2＋y2＝1中0≤x32的一段圆弧．利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型，是参数方程的主要作用．名师点评已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求(1)x2＋y2的最值；(2)点P到直线x＋y－1＝0的距离d的最值．[解]由x2＋y2－6x－4y＋12＝0，得(x－3)2＋(y－2)2＝1，用参数方程表示为x＝3＋cosθ，y＝2＋sinθ，由于点P(x，y)在圆上，所以可设点P为(3＋cosθ，2＋sinθ)，(1)x2＋y2＝(3＋cosθ)2＋(2＋sinθ)2＝14＋4sinθ＋6cosθ＝14＋213sin(θ＋φ)(其中tanφ＝32)，∴x2＋y2的最大值为14＋213，最小值为14－213.(2)由点到直线的距离公式，得d＝|3＋cosθ＋2＋sinθ－1|2＝4＋2sinθ＋π42，当sinθ＋π4＝1时，d取最大值1＋22；当sinθ＋π4＝－1时，d取最小值22－1.参数方程和普通方程的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。新课讲解（1）参数