2015步步高理科数学第二讲参数方程

第二讲参数方程1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数)．(2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程x＝rcosα，y＝rsinα.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是____________，其中φ是参数．椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是____________，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y2＝2px(p0)的参数方程是x＝2pt2，y＝2pt.(t为参数)．1．(课本习题改编)若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为________．2．椭圆x＝2cosθ，y＝5sinθ(θ为参数)的离心率为________．3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2，y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.4．(课本习题改编)直线x＝－1＋tsin40°，y＝3＋tcos40°(t为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C的参数方程是x＝3t，y＝2t2＋1(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________.题型一参数方程与普通方程的互化例1已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．思维升华(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝1cos2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．(2013·广东)已知曲线C的参数方程为x＝2costy＝2sint(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．题型二参数方程的应用例2在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝π3.(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．思维升华根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M2M|及中点坐标)．已知直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝2＋32t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．题型三极坐标、参数方程的综合应用例3在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是x＝－3＋32t，y＝12t(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，则|MN|的最小值为________．思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝22＋32t(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.易错分析不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．规范解答解(1)直线的参数方程可以化为x＝tcos60°，y＝22＋tsin60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，22)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l的直角坐标方程为y＝3x＋22，[6分]ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x－22)2＋(y－22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l的距离d＝64.所以|AB|＝102.[10分]温馨提醒对于直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)来说，要注意t是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝1cos2θ.2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．3．经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋t22；②|PM|＝|t0|＝t1＋t22；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.失误与防范在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围．也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A组专项基础训练1．若直线的参数方程为x＝1＋3t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的倾斜角为________．2．将参数方程x＝3t2＋2，y＝t2－1(0≤t≤5)化为普通方程为________________．3．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．4．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．5．已知曲线C：x＝cosθ，y＝2sinθ(参数θ∈R)经过点(m，12)，则m＝________.6．(2013·重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线x＝t2，y＝t3(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.8．已知曲线C：x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)和直线l：x＝t，y＝t＋b(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝________.9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：x＝asinθ，y＝3cosθ(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.10．若直线l的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝32，圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．B组专项能力提升1．已知抛物线C1的参数方程为x＝8t2y＝8t(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝________.2．直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数为________．3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝t，y＝t(t为参数)和x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线x＝t＋1，y＝t－12(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．5．已知直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为________．6．已知圆C的参数方程为x＝cosαy＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________．7．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)C1与C2交点的极坐标为________；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，则a，b的值分别为________．答案基础知识自主学习要点梳理1．任意一点这条曲线上参数普通方程2．(1)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(2)x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα(3)x＝acosφ，y＝bsinφx＝bcosφ，y＝asinφ夯基释疑1．－322.2153.44.50°5.M1题型分类深度剖析例11，255解析将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x25＋y2＝1(0≤y≤1，－5x≤5)和y2＝45x，联立解得交点为1，255.跟踪训练1ρcosθ＋ρsinθ－2＝0解析由x＝2costy＝2sint(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2＋y2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.例2解(1)由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2＝16.因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝π3，所以直线l的参数方程为x＝2＋tcosπ3，y＝2＋tsinπ3，即x＝2＋12t，y＝2＋32t(t为参数)．(2)把直线l的参数方程x＝2＋12t