2015步步高高中数学文科文档5.3

§5.3平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cosθ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是等腰三角形．(√)(4)在四边形ABCD中，AB→＝DC→且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD为矩形．(×)(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．(×)(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ－43或λ0.(×)2．(2012·陕西)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1答案C解析利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.3．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于()A．150°B．90°C．60°D．30°答案D解析|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴|a＋2b|＝23，a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ＝2×23cosθ＝43cosθ，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴43cosθ＝6，cosθ＝32，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.4．在△ABC中，AC→·AB→|AB→|＝1，BC→·BA→|BA→|＝2，则AB边的长度为()A．1B．3C．5D．9答案B解析AB→|AB→|表示在AB→方向上的单位向量．设△ABC各边分别为a，b，c，则AC→·AB→|AB→|＝b·cosA＝1，同理，BC→·BA→|BA→|＝a·cosB＝2.由余弦定理可得b·b2＋c2－a22bc＝1，a·a2＋c2－b22ac＝2，解方程组得c＝3或0(舍)．故选B.5．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的动点，则DE→·DC→的最大值为________．答案1解析如图，DE→·DC→＝|DC→|·|DE→|·cosθ＝|DE→|·cosθ，|DE→|cosθ＝DT(DE在DC上的投影为DT)，显然DT的最大值为1，∴(DE→·DC→)max＝1.题型一平面向量数量积的运算例1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16(2)(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．思维启迪(1)∠C＝90°，可选取向量CA→，CB→为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义．答案(1)D(2)11解析(1)方法一AB→·AC→＝(CB→－CA→)·(－CA→)＝－CB→·CA→＋CA→2＝16.方法二∵AB→在AC→方向上的投影是AC，∴AB→·AC→＝|AC→|2＝16.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值是________．答案－25解析方法一如右图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π2，cosA＝35，cosC＝45，∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA→·AB→＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.方法二易知AB→＋BC→＋CA→＝0，将其两边平方可得AB→2＋BC→2＋CA→2＋2(AB→·BC→＋AB→·CA→＋BC→·CA→)＝0，故AB→·BC→＋AB→·CA→＋BC→·CA→＝－12(AB→2＋BC→2＋CA→2)＝－25.题型二求向量的夹角与向量的模例2(1)(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.(2)(2013·山东)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．思维启迪利用数量积的定义a·b＝|a|·|b|cosθ.答案(1)32(2)712解析(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.(2)由AP→⊥BC→知AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝(λ－1)×3×2×－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.思维升华(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|等于()A．1B.2C．2D．4答案(1)C(2)C解析(1)∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12，∴〈a，b〉＝π3.(2)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4，∴|a＋2b|＝2.题型三数量积的综合应用例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．思维启迪(1)由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由m⊥p得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式．(1)证明∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.思维升华以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法．(2013·江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝2，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件cosα＋cosβ＝0sinα＋sinβ＝1，又0βαπ，cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，则β＝π－α，sinα＋sin(π－α)＝1，sinα＝12，α＝π6或α＝5π6，当α＝π6时，β＝5π6(舍去)当α＝5π6时，β＝π6.三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________.图形有一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB|＝1，|AC|＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE|＝|BC|＝2↓(非等腰三角板的特点)|BD|＝|DE|sin60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°)AD→在AB→上的投影即为x↓x＝|AB|＋|BD|cos45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD→在AC→上的投影即为y↓y＝|BD|·sin45°＝62×22＝32.解析方法一结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE→|·sin60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin45°＝32.方法二∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2.设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝32＋1.同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边取数量积可得y＝32.答案1＋3232温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂.方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、