2黎曼几何的基础存在严重的缺陷-(2015年11月11日修改稿)

1黎曼几何的基础存在严重的缺陷（1）——黎曼曲率张量无效的实例和黎曼几何与高斯微分几何的不一致性——梅晓春）（1俞平）（2（1）福州原创物理研究所（2）美国Cognitech计算技术研究所内容摘要本文指出黎曼（微分）几何的两个最核心概念——度规张量和曲率张量的现有形式都是有问题的。通过具体计算证明，对于某些任意构造的二维（不可展）曲面，在部分区域或全部区域却可能出现曲率张量01212R的结果。因此黎曼曲率公式失效，我们不可能用R是否等于零来判断空间是否弯曲。事实上由于高斯微分几何中二维曲面定义在三维平直空间中，曲面第一基本形式中的函数E，F和G实际上是不独立的。如果任意选择E，F和G构造曲面，高斯曲率公式也有可能不适用。此外，高斯理论中二维曲面的曲率是有方向性的，而黎曼几何中二维曲面只有一个标量曲率，不能显示曲率的方向性，因此黎曼（微分）几何与高斯微分几何存在不一致性。更严重的问题是，黎曼几何采用局部活动标架参考系，其基向量ie不是常数。因此黎曼几何的度规实际上应该包含联络符号ijk，其形式要比现有形式复杂得多。本文给出黎曼度规的正确形式，由此导致黎曼几何根本性的改变。由于高斯微分几何建立在固定坐标系基础上，其联络ijk与黎曼几何的联络ijk实际上是不一样的，导致黎曼几何的1212R与高斯微分几何的1212R实际上不一样。因此本文的结论是，黎曼（微分）几何的基础存在严重的缺陷，它与高斯几何存在不一致性。数学家需要考虑黎曼（微分）几何存在的合法性，高维空间的几何理论必须有更高维的平直空间背景，只能按高斯微分几何的模式拓展。关键词微分几何，黎曼几何，度规张量，黎曼曲率张量，高斯曲率，高斯方程一．前言本文分成两个部分，第一部分（第二和第三章）证明，对于某些任意选择的曲面，黎曼曲率张量和高斯曲率公式失效，分析黎曼曲率张量和高斯曲率公式失效的原因。第二部分（第四和五章）证明黎曼度规的现有形式是错误的，证明黎曼几何与高斯微分几何存在不一致性。众所周知，黎曼曲率张量是黎曼几何最重要的核心概念之一。黎曼微分几何中有两种方法来判断空间是否弯曲。第一是看是否存在坐标变换，能够将弯曲空间的度规张量g变成常数，二是看黎曼曲率张量R是否处处等于零。本文列举许多例子，证明对于某些任意构造的二维（不可展）曲面，在部分区域或全部区域却可能得出01212R的结果。因此黎曼曲率张量对这些曲面失效，我们不可能用R是否等于零来判断空间是否弯曲。进一步的分析表明，这些曲面也导致高斯曲率公式失效，原因在于这些曲面在高斯曲面理论中是不合法的。高斯微分几何理论中，二维曲面是以三维平直空间为背景的。将三维空间中定义的曲面用两个变量表示，得到曲面第一基本形式，其中的函数E，F和G不是独立的。如果我们任意选2择曲面度规，得到的E，F和G一般是相互独立的。用高斯曲率公式计算，就会得出某些不可展曲面的部分区域或全部区域曲率0K的错误结果。将这种不合法曲面还原回到三维空间描述，其度规不能用平直空间的微分弧长平方来表示。另一方面，黎曼几何的流形（弯曲空间）是没有更高维的平直空间背景的。二维黎曼曲面被认为可以独立存在，不需要被嵌入三维平直空间。只要满足连续可微条件，任意选择度规张量ijg构造出来的曲面对黎曼几何都是合法的。因此如果出现二维不可展曲面01212R的情况，就只能说明黎曼曲率张量有问题。在高维空间中，是否能用R来描述曲率也是值得怀疑的。事实上，高斯微分几何与黎曼几何的基本出发点是不一样的。然而二者却能得到相同的曲率公式，这样的结果是可疑的。本文指出，高斯微分几何与黎曼几何实际上是不一致的。在高斯几何中，二维曲面的不同方向有不同的曲率。高斯曲率公式21kkK中，1k和2k分别是曲面在主法方向上的最大曲率和最小曲率。因此在高斯理论中，实际可测量的曲率不是乘积21kk，而是单独的1k和2k。在一般的情况下，高斯曲面曲率用法曲率表示。法曲率是微分关系，其形式是IIIK/，其中I和II是高斯曲面的第一和第二形式。在曲面的不同方向上，曲率一般是不一样的。然而在黎曼几何中，二维曲面的曲率张量只有一个独立分量1212R。在曲面的不同方向，黎曼曲率都可以用标量1212R~K来描述，因此是没有方向的。也就是说黎曼几何实际上认为二维曲面的曲率是乘积21kk，而不是1k和2k，但这是完全错误的。它不但与高斯理论不一致，而且违背基本几何常识。因此二维空间中黎曼曲率张量一般不可能是正确的，高维空间中黎曼曲率张量的有效也是值得怀疑的。黎曼几何的另外一个基本概念是度规张量，本文证明其现有形式实际上也是错误的。黎曼几何采用活动的局部标架参考系，用iidxerd表示位移，用以下度规表示弧长【1】：jiijjijidxdxgdxdxeerdrddS2（1）其中令ijjigee。然而这种定义是错误的，原因在于局部标架参考系中基向量ie是变量，我们有iidxerd。事实上黎曼几何用公式iieAA表示向量，如果iixA是空间坐标分量，局域参考系某点邻域空间点的位置向量就是iiexr。比如在二维曲面的某点上建立切平面，切平面上位置向量就可以写为2211exexr。如果描述的是曲面上的位移，将这个公式微分，由于ie是变量，就应当有：iiiiedxdxerd（2）因此黎曼空间的度规应当是：jijiijijjijiededxxdxedexdxerdrddS2dxe2jiijjiqlipkjpqlklkjilkijdxdxGdxdxgxxgxg)2(（3）所以（1）式实际上只能适用于基向量不变的固定坐标系，否则我们就无法区分固定坐标系和活动坐标系的度规。事实上，黎曼几何中所有与标架有关的微分量都包含联络ijk。弧长的微分也应当包含联络，这是很自然的结果。为了使弯曲空间不同点上的弧长能够进行比较，度规张量包含联络是必要的。按照（3）式，黎曼度几何的度规张量应当是ijG而不是ijg。由于联络ijk是通过对ijjigee进行微分得到的，我们就不可能用ijG来计算联络。另一方面，在高斯曲面论中，曲面度规的基本形式是：3)()(2dvrdurdvrdurrdrddSvuvujiijvvvuuudxdxgdvrrdudvrrdurr~222（4）其中uFFu/，vFFv/。由于kzjyixr定义在三维欧氏空间中，基矢kji,,是固定不变的，即令0kdjdid。因此切向量uF和vF是以固定基矢为基准的，对uF和vF做进一步微分时，基矢kji,,仍然不变，二次微分量uuF，vuF和vvF仍然以固定坐标为基准。可见高斯几何是建立在固定基矢基础上的，这与黎曼几何使用活动标架是不同的，这种不同必然要在度规的定义中体现出来。黎曼几何的正确度规是（3）式，而不是（1）式。如果用（3）和（4）式表示相同的曲面，就有ijijijjigGgFF。因此尽管利用高斯方程和Weingarten方程，从高斯曲面理论得到的曲率张量1212R与黎曼几何的曲率张量1212R形式完全一样，但由于ijijgg，用ijg计算的联络ijk和用ijg计算的联络ijk实际上是不一样的，1212R与1212R也是不一样。除此之外，高斯方程中基向量1r，2r和n的地位是不对称的，但黎曼几何中局部标架展开式对所有的基向量ie是对称的。考虑到这一点，高斯方程展开式的联络ijk与黎曼几何联络ijk也是不同的，也导致高斯微分几何中1212R与黎曼几何中的1212R实际上不一样。本文最后对黎曼几何进行综合评述，指出黎曼几何不可能独立于高斯几何而存在。如果没有高斯理论作为基础，按照黎曼几何我们甚至连球面的度规形式都不能确定。更一般地说，高维弯曲空间的几何理论必须以更高维的平直空间为背景，否则无法建立有实际意义的理论。即使建立起这种理论，也不过是一堆抽象的数学符号，与真实的物理世界没有关系。因此对于黎曼几何，我们需要考虑其存在的合法性。二．用黎曼曲率张量无法判断空间平直性的实例2.1二维空间的黎曼曲率张量在高斯微分几何中，N维平直空间的度规为：dXdXdS2（6）黎曼微分几何中，N维弯曲空间的度规为：dxdxxgdS)(2（7）一般而言)(xg。按照黎曼几何的基本原则，如果无法通过坐标变换将（7）式变成（6）式的形式，（7）式描述的空间就是真正弯曲的。如果可以找到坐标变换，将（7）式变成（6）式，（7）式描述的空间实际上是平直的。由于寻找这种变换比较麻烦，就需要有更方便的方法。它就是直接计算黎曼曲率张量R或R，看它们是否等于零。如果0R或0R，度规（7）描写的空间在本质上是平直的，否则就是弯曲的。由于R和R是等价的，我们以下仅讨论R，其具体形式为【1】：,,222221xxgxxgxxgxxgR（8）4式中,和分别是第一类和第二类克里斯托夫符号：xgxgxg21,（9）xgxgxgg21（10）以下证明用（8）式计算某些真正的二维不可展曲面，仍然可能出现0R的结果，因此我们实际上不可能用黎曼曲率张量来判断空间是否弯曲。对于二维曲面，（7）式写为：2221222121122121112),(),(2),(dxxxgdxdxxxgdxxxgdS（11）按照公式gg，得到四个关于g的方程：021221112gggg121211111gggg022211211gggg122221212gggg（12）考虑到2112gg，从上式解出：21222112211ggggg2122211121221gggggg21222111122ggggg（13）在二维的情况下，独立的黎曼曲率张量只有一个分量：212222211221122121221xgxgxxgR2112,221111,222122,211121,21（14）按照（9）和（10）式，可得：2111,2121xg1222,2121xg1222121,22221xgxg2222,2221xg（15）12212211111122121xggxgg211112121111111122121xgxggxgg12222211122122121xggxgg211112221111221122121xgxggxgg（16）代入（14）式，得到：212222211221122121221xgxgxxgR21212211122112221222112)(41xgxgxgxggggg522211121212211221212221112222xgxgxgxgxgxgxgxgg1122112222122112xgxgxgxgg（17）对于平面度规22212dxdxdS和柱面度规2222dzdadS