3__计算方法常微分方程的差分方法.

1计算方法23常微分方程的差分方法•问题的提出•一阶方程的典型解法33.0问题的提出•数值微分微分的定义•差商公式——三种典型的差商公式4•典型的微分方程(一阶方程的初值问题)•理论解(解析方法)的局限性•数值解法的重要性——无理论解、仅有离散点。00')(),(yxyyxfy5•差分方法是一类重要的数值解法寻求一系列离散节点x1x2…xn…上的近似解y1，y2，…，yn，…。h=xn+1-xn称为步长。•初值问题差分方法的特点：步进式——求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这种算法，只要给出从已知信息yn，yn-1，yn-2，…计算yn+1的递推公式——差分格式。•求解的核心——消除导数，离散化方法63.1Euler方法•Euler格式微分的离散化——差商代替导数在点xn列出一阶方程已知0'))(,()(yxyxfxynnn7•显式•图形已知011111')2,1,0)(,())(,()()()()()()()(ynyxfhyyxyxfhxyxyhxyxyxxxyxyxynnnnnnnnnnnnnnn8•例题取h=0.11)0()10(2'yxyxyy9欧拉方法的误差分析•局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下，yn+1-yn的误差。如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方法的精度是p阶的。•Euler格式的精度：一阶方法。10•隐式Euler方法向后差商公式。已知01111111111'),())(,()()()()()()()(yyxfhyyxyxfhxyxyhxyxyxxxyxyxynnnnnnnnnnnnnnn11•隐式•计算比较困难•一阶方法12•两步Euler格式——中心差商公式已知0111111')2,1,0)(,(2))(,(2)()(2)()()(ynyxfhyyxyxfhxyxyhxyxyxynnnnnnnnnnn13•两步•二阶方法3''''113'''11()()2()()3()()3nnnnnhyxyxhyxyhyxyy143.2改进的Euler方法•微分方程转化为积分方程•选取不同的数值积分公式——不同的离散方法(差分格式)111d),()()(d),(d1'nnnnnnxxnnxxxxxyxfxyxyxyxfxy15•矩形格式离散化•梯形格式离散化——两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。))](,(),([2)()(111nnnnnnxyxfyxfhxyxy))(,()()(1nnnnxyxfhxyxy),(1nnnnyxfhyy)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy16•改进的思路：先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为(预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。•改进的Euler公式))],(,(),([2)],(),([2),(111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxfhyxfyxfhyyyxfyxfhyyyxfhyy1ny17或如下平均化形式)(21),(),(11cpnpnncnnnpyyyyxfhyyyxfhyy18•例题1)0()10(2'yxyxyy19•精度分析•思考题——数值积分公式其他形式(思想)的适用性20))(,())(,()()()()()(11'1yfhyyyfhxyxyyhxyxynnnnnn3.3Runge-Kutta方法•高精度(构造！)•思想核心是如何确定。•改进的Euler公式))(,(yf),(),()(21121211KhyxfKyxfKKKhyynnnnnn21•的构造))(,(yf22•二阶Runge-Kutta方法取xn和xn+p=xn+ph，0p≤1。合理的确定λ、p，以提高精度。),(),(])1[(121211phKyxfKyxfKKKhyynpnnnnn23•假定yn=f(xn)从而有而有：λp=1/2。——二阶Runge-Kutta格式)()()()()],(),(),([),(),()(),(2'''212'1hOxphyxyhOyxfyxfyxfphyxfphKyxfKxyyxfKnnnnynnnnxnnnpnnnn)()()()(3''2'1hOxyphxhyxyynnnn)()(2)()()(3''2'1hOxyhxhyxyxynnnn24•λ=1/2，p=1，改进的Euler公式；•λ=1，p=1/2，变形的Euler公式——中点公式；)2,(),(1212121KhyxfKyxfKhKyynnnnnn25•三阶Runge-Kutta方法取xn、xn+p、xn+q，0p≤q≤1。一般格式一种典型格式),(])1[(),(),(])1[(3211213211qnqnnqnnpnnnnnyxfKKKqhyyphKyxfKyxfKKKKhyy))2(,()2,(),(]4[62113121213211KKhyxfKKhyxfKyxfKKKKhyynnnnnnnn1;2/12;6/1;3/2qp26•四阶Runge-Kutta方法——典型格式),()2,()2,(),(]22[631322131212143211KhyxfKKhyxfKKhyxfKyxfKKKKKhyynnnnnnnnnn27•例题h=0.2。•解：1)0()10(2'yxyxyy3331322221311121214321122),(222)2,(222)2,(2]22[6hKyhxKhyKhyxfKKhyhxKhyKhyxfKKhyhxKhyKhyxfKyxyKKKKKhyynnnnnnnnnnnnnnnnnnnn28•变步长Runge-Kutta方法考察经典的四阶Runge-Kutta格式，设从节点xn出发，先以h为步长求出一个近似值，显然：。将步长折半，取h/2为步长从xn跨两步到xn+1，再求得一个近似值，从而有：5)(11)(Chyxyhnn)2(1hny)(1hny5)2(11)2(2)(hCyxyhnn29•故而：事后误差估计公式：•误差控制161)()()(11)2(11hnnhnnyxyyxy)(151)()(1)2(1)2(11hnhnhnnyyyxy30•初步总结与第2章的继承性。•Exercises习题3的第10、12题。313.4Adams方法•Adams格式基本思想：利用xn，xn-1，xn-2…上的斜率值减少计算yn+1的计算量或提高精度。))(,()()(1yfhxyxynn32•取取合理的λ，使上述格式具有二阶精度——二阶Adams格式),(),(])1[(11'1''1'1nnnnnnnnnnyxfyyxfyyyhyy33•假设则：而显然：λ=-1/2。)(),(11nnnnxyyxyy)()()()(])1[()()()()(3''2''1'12''''1hOxyhxhyxyyyhxyyhOxhyxyynnnnnnnnnn)()(2)()(3''2'1hOxyhxhyxyynnnn34•二阶Adams格式)3(2'1'1nnnnyyhyy35•三阶•四阶)9375955(24'3'2'1'1nnnnnnyyyyhyy)51623(12'2'1'1nnnnnyyyhyy),('knknknyxfy36•隐式格式二阶隐式Adams格式),(),(])1[(11'1'''11nnnnnnnnnnyxfyyxfyyyhyy)(2''11nnnnyyhyy37•三阶隐式Adams格式•四阶隐式Adams格式)85(12'1''11nnnnnyyyhyy)5199(24'2'1''11nnnnnnyyyyhyy38•改进的Adams格式(预报-校正系统)用显式和隐式的Adams格式匹配构造),(]3[211''1'11nnnnnnyxfyyyhyyn),(][211'''111nnnnnnyxfyyyhyyn39),()5199(24),()9375955(2411'1'2'1''1111'1'3'2'1'1nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxfyyyyyhyyyxfyyyyyhyy•四阶40假设,则：而显然：)(knknxyy)(''knxyykn)(120)(24)(6)(2)()()()5(5)4(4'''3''2'1nnnnnnnxyhxyhxyhxyhxhyxyxy)(14449)(24)(6)(2)()()5(5)4(4'''3''2'1nnnnnnnxyhxyhxyhxyhxhyxyy)(720251)()5(511nnnxyhyxy41校正后的误差从而有：)(72019)()5(511nnnxyhyxy19251)()(1111nnnnyxyyxy42事后估计式)(27019)()(270251)(11111111nnnnnnnnyyyxyyyyxy43令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值，和可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。)(270251111nnnpcp)(27019111nnnpcc44•改进后的公式),()(27019)5199(24),()(270251)9375955(2411'11111'2'1''1111'111'3'2'1'1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxfypccyyyymhycmxfmpcpmyyyyhyp45•Exercises习题3的第13题。46收敛性与稳定性•差分方法的基本思想:通过离散化，将微分方程转化为差分方程(代数方程)。•合理性检验解的收敛性。当h=0时，yn是否会收敛到y(xn)?47•收敛性问题若，则称该方法收敛。)(lim,00nnnhnxyynhxx48Euler方法的收敛性Euler格式：看看1(,)nnnnyyhfxy11()nnyxy49令yn=y(xn)，则近似值：局部截断误差从而存在定数C，使1()(,())nnnnyyxhfxyx2''111()()2nnnnhyxyfxx211()nnyxyCh50而：式中，L是f关于y的Lipschitz常数。存在常数L，使对于任何一对点(x，y1)、(x，y2)，均有不等式成立，L称为Lipschitz常数。11(1)