3-2稳定性和误差.

13.5线性系统的稳定性分析3.5.1稳定的概念和线性系统稳定的充要条件控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件改变等。任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。在经典控制理论中，认为若系统能恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的；否则，称系统是不稳定的。3obacd4线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零（原平衡状态），则称系统为稳定。反之，则为不稳定。零输入下线性齐次微分方程在初始条件下的自由运动，工程上常用脉冲响应来等效研究。如果当t→∞时，脉冲响应函数g(t)收敛到原来的平衡点，即有0)(limtgt则线性系统是稳定的。5qirkkdktktpitteBeAtgkki)0()sin()(01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsMsnnnnmmmm线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为：线性系统的稳定性是系统自身固有特性，仅取决于结构参数，与初始条件和输入信号无关。6根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。3.5.2线性系统的代数稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程0)()(10122110niinnnnnssaasasasasasD式中，a00,si（i=1,2,,n）是系统的n个闭环极点。7根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：,,,021,011aassaasnjijijinii01)1(aasnnnii从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj0(i,j=1,2,,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。81.劳斯判据112311bababc0,0)(01110aasasasasDnnnnsn130211aaaaab150412aaaaab3b113512bababc3csn-1sn-2sn-3s0a0a1a2a3a4a5an劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：9表中：（1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。（2）第一，二行元素，直接用特征方程的系数填入。（3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。凡在运算中出现的空位，均置以零。运算一直进行到第n+1行，第n+1行仅第一列有值，且正好为特征方程最后一项系数an。系统稳定的充要条件是：劳斯表中第一列全部元素都要是正的。劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程位于右半s平面上根的个数。10第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且有两个根具有正实部。2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性例3-5设有特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表s4s3s2s1s013524615511例3-6系统的特征方程为：D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：系统的劳斯表为：第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不全为零，或没有其余项。对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。12321b∵ε→0+时，b10，劳斯表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个具有正实部的根，不稳定。（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/3620613例3-7设某线性系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+s33s2s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0132112200解:该系统的劳斯表如下：14由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，故系统有两个正实部的根，系统不稳定。关于原点对称的根，可解辅助方程求出。得s1=1和s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2。用全零行上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0132112242F(s)=2s2+2F(s)=4s15例3-20已知系统的闭环特征方程为：D(s)=s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0试用劳斯判据判断系统稳定性。辅助方程：2s4+12s2+16=0对s求导，得8s3+24s=0s6s5s4s3s2s1s01820162121621216(00)8246162.6716解:该系统的劳斯表如下：第一列没有变号，故没有具有正实部的根，有纯虚根。解得：s=±2j,±1.414j16（2）分析参数变化对稳定性的影响例3-8已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零0K6s3s2s1s0123K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)K﹣+17（3）确定系统的相对稳定性例3-12检验多项式s3+5s2+8s+6=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s=1的右边？解：1)劳斯表中第一列元素均为正，∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。2)令s=s11坐标平移，得新特征方程为：s13+2s12+s1+2=0s3s2s1s018566.8618劳斯表中第一列元素全为正，故系统没有根在垂直线s=1的右边。但是，系统有两个根在垂直线s=1上。s13s12s11s101122ε2s13+2s12+s1+2=019例3-9检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s=1的右边？解：1)劳斯表中第一列元素均为正，∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。2)令s=s11坐标平移，得新特征方程为2s13+4s12s11=0s3s2s1s021310412.2420劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。s13s12s11s1021410.512s13+4s12s11=0213.6稳态误差的定义及一般计算公式3.6.1误差的基本概念1.误差的定义误差的定义有两种：①从系统输入端定义，它定义为系统的输入信号与主反馈信号之差，即e(t)=r(t)b(t)②从系统输出端定义，它定义为系统输出量的希望值与实际值之差。e*(t)=c*(t)c(t)E*(s)=C*(s)C(s)对于单位反馈系统，两种定义是一致的。G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)E(s)=R(s)B(s)22由图可知，C*(s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的希望值。因而，E*(s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s))()()(1)()(*)(*sCsRsHsCsCsE由此可见，从系统输入端定义的误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的误差。G(s)H(s)R(s)C(s)1H(s)E*(s)C*(s)﹣+)()(1)]()()([)(1sEsHsCsHsRsH2.两种误差定义的关系如果sE(s)在s右半平面及其虚轴上解析，即sE(s)的极点均位于s左半平面（包括坐标原点），利用拉氏变换的终值定理，系统的稳态误差可以由下式求出：233.稳态误差ess定义：是指过渡过程结束之后的误差值，即误差信号e(t)的稳态值e(∞),记为ess。)(lim)(lim0sssEteetss)()(lim)(limtbtrteettss24例3-10设单位反馈控制系统的开环传函为试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，r(t)=t，r(t)=sinωt时，控制系统的稳态误差。TssG1)(TssTssGssRsEe/1/111)(11)()()(（1）当r(t)=t2/2时R(s)=1/s3解法一：（终值定理）31/1)(sTsssEsTsssEessss1/11lim)(lim00解：25解法二：TsTsTsTsTsssE/11/1)(2223)(limteetssTteTTTtte22)(26（2）当r(t)=1(t)时，R(s)=1/ssTsssRsGsE1/1)()(11)(（3）当r(t)=tR(s)=1/s221/1)(sTsssETsTssssEsessss2001/1lim)(lim01/1lim)(lim00sTssssEsessss27221)(ssssET222222122111scssTTsTTTtTTtTTeTTteTtsin1cos11)(22222222)sin(cos1)(22tTtTTtess0)(sse)sin(122tTTTtg11（4）当r(t)=sinωt时R(s)=ω/(s2+ω2)终值定理的条件不成立！283.6.2控制系统的类型不失一般性，开环传函可写为：N=0称为0型系统；N=1称为Ⅰ型系统；N=2称为Ⅱ型系统。等等给定信号作用时系统误差的拉氏变换为：)()(11)()()(11)()()(sRsGsRsHsGsRsΦsEke)()1()1()()()(011sGsKsTsτsKsHsGsGNNniimjjNkNniimjjsTsτsG110)1()1()(293.6.3给定信号作用下的稳态误差分析1.单位阶跃输入作用下的稳态误差)()(lim111)()(11lim00sHsGssHsGsessss令)()(lim0sHsGKsp，称为系统的静态位置误差系数。pssKe110型系统：Kp=Kess=1/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系统：Kp=∞ess=0NsNspsKsGsKK000lim)(lim1)(lim)1()1()(00110sGsTsτsGsNniimjj302.单位斜坡输入作用下的稳态误差)()(lim11)()(11lim020sHssGssHsGsessss令)()(lim0sHssGKsv，称为静态速度误差系数。vssKe10型系统：Kv=0ess=∞Ⅰ型系统：Kv=Kess=1/KⅡ型及Ⅱ型以上系统：Kv=∞ess=01000lim)(limNsNsvsKsGsKsK1)(lim)1()1()(00110sGsTsτs