3-1向量空间

第三章向量§1n维向量空间Pn定义112,,,.ninaaannniai个有次序的数所组成的数组称为维向量，这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、n维向量的概念与运算例如),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量向量)3(n解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式),,,(21nTaaaa坐标系),,,(21naaaanaaaa21n维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，如：n维向量写成一列，称为列向量，如：n,,,ba向量通常用等表示注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.4．数域P上的n维向量集合Pn考虑到线性运算称为n维向量空间Pn。若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如维列向量个有矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan向量组维行向量个又有矩阵类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个nmnmm,,,,21矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个nmnmTmTT,,,21TmTTB21),,,(21mAbxaxaxann2211线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．设12,,,,nsP12,,,skkkP二、线性组合定义21122sskkk如果β=称β为向量组的一个线性组合.12,,,s或者称向量可由向量组线性表示.12,,,s注：1)若，也称向量与成比例.k2）零向量0可由任一向量组的线性表出.3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)n4）任一维向量都是向量组12(,,,)naaan的一个线性组合．也称为n维单位向量组．12,,,n1122.nnaaa事实上，有对任意皆有12(,,,),naaa若能，写出它的一个线性组合．123(1,2,3,1),(5,5,12,11),(1,3,6,3)解：设，即有方程组112233kkk123123123123522531312631134kkkkkkkkkkkk（1）例1判断向量能否由向量组线性表出.123,,(2,1,3,4)所以方程组(1)有解．它的一般解为2133113310010000000013232133113kkkk151225313126311134A1512031100000000所以方程组(1)有解．它的一般解为13232133113kkkk得(1)的一个解，(1,0,1)1331,k令从而有小结向量能由向量组线性表出.n,,,21有解。方程组nnxxx2211定义3三、向量组的等价若向量组中每一个向量12,,,s(1,2,,)iis若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价.可以经向量组线性表出；12,,,t12,,,s皆可经向量组12,,,t线性表出，则称向量组向量组之间的等价关系具有：1)反身性2)对称性3)传递性四、线性相关性1、线性相关注：特殊情形2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.若在数域P中存在不全为0的数k1，k2，….ks,使得1）向量组线性相关成比例.12,12,定义4：设Pn空间中的向量组)1(,,,21ss成立，则称向量组线性相关；)1(,,,21ss02211sskkk定义4´如果向量组中有一向量可经其余向量12,,,(2)ss称为线性相关的.线性表出，则向量组12,,,s在时，定义4与定义4'是等价的.2s注：定义：若向量组不线性相关，则称12,,,s若不存在P中不全为零的数，使12,,,skkkP11220sskkk向量组为线性无关的.12,,,s2、线性无关即则称向量组为线性无关的.12,,,s11220sskkk必有120,skkk换句话说，对于一个向量组12,,,,s若由则称向量组为线性无关的.12,,,s例2判断下列向量组是否线性相关.123(1)(1,2,3),(2,4,6),(3,5,4)123(2)(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)11220sskkk必有120,skkk对于一个向量组12,,,,s若由则称向量组为线性无关的.12,,,s112233(1)0解设kkk123(1,2,3)(2,4,6)(3,5,4)0即kkk12312312323024503640也即kkkkkkkkk123245364系数矩阵A=123001001312300100012320kkk2=-++=123取1，则有200k123故，，线性相关。例2判断下列向量组是否线性相关.123(1)(1,2,3),(2,4,6),(3,5,4)123(2)(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)112233(1)0解设kkk12312312323024503640也即kkkkkkkkk123245364系数矩阵A=112233(2)0设kkk123，可由克拉显默法则然，系数矩阵A=是方阵求解。100110=111系数行列式A=10123故，，线性无关。小结有非零解。方程组02211ssxxx向量组线性相关.)1(,,,21ss),2,1(021sjsjs维向量，是行列式只有零解。方程组02211ssxxx向量组线性无关.)1(,,,21ss),2,1(021sjsjs维向量，是行列式1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.由其余向量线性表出.3、线性相关性的有关性质2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组线性相关。4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关。定理284页5）如果向量组线性无关，而向量组12,,,s线性相关，则可经向量组12,,,,s线性表出，且表法唯一。12,,,s定理384页线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解；的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.6）向量组12(,,,),iiiinaaa1,2,,is（2）111212112122221122000ssssnnsnsaxaxaxaxaxaxaxaxax向量组12(,,,),1,2,,,iiiinaaais线性相关特别地，对于n个n维向量12(,,,),1,2,,iiiinaaain1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa行列式线性相关；12,,,n0线性无关.12,,,n推论1向量组线性无关，则个向量添加r个分量后得到的向量组仍然线性无关。7）若向量组12(,,,),1,2,,iiiinaaais线性无关，则向量组也线性无关.12,1(,,,,),iiiininaaaa1,2,,is注：则向量组也线性相关.12,,,s反之，若向量组12,,,s线性相关，83页定理1推论2向量组线性相关，则个向量去掉r个分量后得到的向量组仍然线性相关关。8）向量组线性相关的基本性质定理定理2设与为两个向量组，若12,,,s12,,,ri)向量组可经线性表出；12,,,s12,,,r则向量组必线性相关.12,,,rii).rs引理190页要证线性相关，即证有不全为零的数12,,,r使12,,,,rkkk证：由i)，有1,1,2,,siijjjtir11220.rrkkk作线性组合11rsijijijxt11srijijjixt1122rrxxx1riiix11rsijijijxt若能找到不全为０的，使12,,,rxxx10,1,2,,rijiixtjs则也使11220.rrxxx中，方程的个数s＜未知量的个数r，在方程组（3）111122121122221122000rrrrsssrrtxtxtxtxtxtxtxtxtx从而有不全为零的数，使12,,,rxxx所以（3）有非零解.11220rrxxx所以线性相关。12,,,r则也使11220.rrxxx推论2任意n＋1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量。推论1若向量组可经向量组12,,,r12,,,s线性表出，且线线性无关，则12,,,r.rs（任意个n维向量必线性相关.）()mn定理2设与为两个向量组，若12,,,s12,,,ri)向量组可经线性表出；12,,,s12,,,r则向量组必线性相关.12,,,rii).rs引理190页例2判断向量组是否线性无关？若线性相关，求一组非零数123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)123,,,kkk使1122330.kkk解：1122330,kkk设即有方程组1231231320270,390kkkkkkkk13233,kkkk解之得1233,1,1,kkk3k为任意数所以线性相关.123,,令31,k则有使1122330.kkk由于123,,线性无关，于是有131223000xxxxxx设1122330,xxx即131122233()()()0xxxxxx例3已知向量组线性无关，向量123,,证明：线性无关.123,,解之得1230.