31n维向量

第3章向量的线性相关性与向量空间3.1n维向量3.2n维向量空间3.3线性方程组的解§1n维向量一、n维向量的概念二、向量组的线性相关性三、向量组间的关系四、向量组的秩与矩阵的秩一、n维向量的概念1.n维向量的定义定义1n个有次序的数a1,a2,,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.例如(1,2,3,,n)(12i,23i,,n(n1)i)n维实向量n维复向量第2个分量第1个分量第n个分量a1a2.n维向量的表示方法n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用aT,bT,T,T等表示，如：aT(a1,a2,,an)n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用a,b,,等表示，如：a2an注意:（１）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；（２）行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；（３）当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.aaaanj111211A（4）向量、向量组与矩阵若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如矩阵A(aij)mn有n个m维列向量a1a2ajana21a22a2ja2nam1am2amjamn向量组a1,a2,,an称为矩阵A的列向量组.a11a12a1n向量组,,…，m称为矩阵A的行向量组．类似地,矩阵A(aij)mn又有m个n维行向量a21a22Aai1ai2am1am2a2nainamnT1TTiTmTT12T的向量组1,2,m,1T2反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.m个n维列向量所组成的向量组1,2,构成一个nm矩阵A(1,2,,m),m,m个n维行向量所组成TTT构成一个mn矩阵TBmT,22222121bxaxaxann（5）线性方程组的向量表示a11x1a12x2a1nxnb1,am1x1am2x2amnxnbm.a1x1a2x2anxnb方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．，，，组实数mkkk,21量k3.向量组的线性表示定义:给定向量组A:1,2,,m，对于任何一向k11k22kmm称为向量组的一个线性组合，1，k2，,km称为这个线性组合的系数.给定向量组A:1,2,,m和向量b,如果存在一组数1，2，,m，使b1122mm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示．定理:向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A(1，2，,m)的秩等于矩阵B(1，2，,m,b)的秩.二、向量组的线性相关性1.定义:给定向量组A:1,2,,m,如果存在不全为零的数k1,k2,,km使k11k22kmm0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．注意:1.若1,2,,n线性无关,则只有当1n0时,才有1122nn0成立.2.对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.3.向量组只包含一个向量时,若0则说线性相关,若0,则说线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.5.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面.m2.线性相关性的判定定理1向量组1,2,,（当m2时）线性相关的充分必要条件是1,2,,m中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示．证明充分性设a1,a2,,am中有一个向量（比如能由其余向量线性表示.即有am1122m1m1am）故1122m1m11am0因1,2,,m1,1这m个数不全为0，故1,2,,m线性相关.必要性设1,2,,m线性相关，则有不全为0的数k1,k2,,km,使k11k22kmm0.123.m因k1,k2,,km中至少有一个不为0，不妨设k10,则有k2k3kmk1k1k1即1能由其余向量线性表示.证毕.定理2向量组1,2,,m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(1,2,,m)的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m.证明（略）下面举例说明定理的应用.neee1,,0,0,0,,1,0,0,,0,121，例１n维向量组TTT称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.解n维单位坐标向量组构成的矩阵E(e1,e2,,en)是n阶单位矩阵.由E10，知R(E)n.即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此向量组是线性无关的.例２已知10211，22，34，157试讨论向量组1，2，3及1，2的线性相关性.解分析对矩阵（1，2，3），施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,可同时看出矩阵（1，2，3）及（1，2）的秩，利用定理2即可得出结论.175r3r2000~102(1,2,3)124157r2r1~r3r111000002255222251022022，可见R(1,2,3)2，向量组1,2,3线性相关；R(1,2)2,向量组1,2线性无关.x1x20,1例3已知向量组1,2,3线性无关,b112,b223,b331,试证b1,b2,b3线性无关.证设有x1,x2,x3使x1b1x2b2x3b30即x（12）x2(23)x3(31)0,亦即（x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30,因1，2，3线性无关，故有x1x30,x2x30.由于此方程组的系数行列式10111020011故方程组只有零解x1x2x30，所以向量组b1,b2,b3线性无关.定理3(1)若向量组A：1,2,,m线性相关,则向量组B:1,,m,m1也线性相关.反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关.证明:（1）记A(a1,,am),B(a1,,am,am1)，有R(B)R(A)1.若向量组A线性相关,则根据定理2，有R(A)m，从而R(B)R(A)1m1,因此,根据定理2知向量组B线性相关.a1jaa1j,bj,(j1,2,,m),ar1,j说明：结论（1）可推广为:一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关.特别地，含有零向量的向量组必线性相关.反之，若一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关.(即全体与部分的关系)定理3（2）设a2jrja2jarj即j添上一个分量后得向量bj.若向量组A：1,2,,m线性无关,则向量组B：b1,b2,,bm也线性无关.反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.证明:（2）记Arm(1,m)，B(r1)m(b1,,bm),有R(A)R(B).若向量组A线性无关,则R(A)m，从而有R(B)m.但R(B)m(因B只有m列），故R(B)m，因此向量组B线性无关.说明：结论（2）是对增加一个分量（即维数增加1维）而言的，若增加多个分量,结论也成立.（即延长与缩短的关系）定理3（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关.证明:（3）m个n维向量1,2,,m构成矩阵Anm(1,2,,m)，有R(A)n.若nm,则R(A)m,故m个向量1,2,,m线性相关.定理3(4)设向量组A:1,2,,m线性无关,而向量组B:1,,m,b线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.证明:(4)记A(1,2,,m),B(1,2,,m,b),有R(A)R(B).因A组线性无关，有R(A)m;因B组线性相关，有R(B)m1.所以mR(B)m1，即有R(B)m.由R(A)R(B)m,知方程组(1,2,,m)xb有唯一解，即向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一.三、向量组间的关系1.向量组的等价关系定义1设有两个向量组A:1,2,,m及B:1,2,,s.若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．性质：（1）反身性：向量组A与A等价；（2）对称性：若向量组A与B等价，则B与A也等价；（3）传递性：若A与B等价，B与C等价，则A与C等价.那2.最大线性无关向量组定义2设有向量组A，如果在A中能选出r个向量1,2,,r，满足（1）向量组A0:1,2,,r线性无关；（2）向量组A中任意r1个向量（如果A中有r1个向量的话）都线性相关，末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）;最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.四、向量组的秩与矩阵的秩定理１矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.证设A(a1,a2,,am)，R(A)r,并设r阶子式Dr0.根据定理,由Dr0知所在的r列线性无关；又由A中所有r1阶子式均为零，知A中任意r1个列向量都线性相关.因此Dr所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A).向量组a1,a2,,am的秩也记作R(a1,a2,,am)结论:若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行即是行向量组的一个最大无关组.说明（1）最大无关组不唯一;（2）向量组与它的最大无关组是等价的.的，求作维向量构成的向量组记全体RRn例nn一个最大无关组及Rn的秩.解因为n维单位坐标向量构成的向量组E:e1,e2,,en是线性无关的，又根据定理3的结论(3)知Rn中的任意n1个向量都线性相关，因此向量组E是Rn的一个最大无关组，且R