2015高考数学(人教A版)一轮作业2-2函数的单调性与最值

1——函数的单调性与最值时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________座号：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·广东模拟)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1C．y＝(12)xD．y＝x＋1x2.函数f(x)＝1－1x－1()A．在(－1，＋∞)上单调递增B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减D．在(1，＋∞)上单调递减3．已知函数f(x)是R上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·浙江模拟)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，则()A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，则a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b5．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．16B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－166．(2014·福建模拟)函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f(x1＋x2＋x3＋x44)≤14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是()A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．8．函数f(x)＝x＋2x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和M＋N＝________.9．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f(x)＝－x＋3；g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．10．(2014·沈阳第二次质量监测)设在给定区间内，函数f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)－g(x)是增函数；②若f(x)是增函数，g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是增函数；③若f(x)是减函数，g(x)是增函数，则f(x)－g(x)是减函数；④若f(x)是减函数，g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是减函数．其中正确的命题是________．三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)211．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．12．已知函数f(x)＝a－1|x|.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．13．(2014·北京西城抽样测试)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．3函数的单调性与最值参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：B、C在(0，＋∞)上为减函数，D在(0,1)上减，(1，＋∞)上增．故选A.答案：A2.解析：画出函数f(x)＝1－1x－1的图象，从图象上可观察到该函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B3．解析：∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)f(1)，∴|x|1，解得x1或x－1.答案：D4．解析：考查函数y＝ex＋2x为单调增函数，若ea＋2a＝eb＋2b，则a＝b；若ea＋2a＝eb＋3beb＋2b，∴ab.故选A.答案：A5．解析：函数f(x)和g(x)的图象一个是开口向上的抛物线，一个是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标．令x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x＝a＋2或x＝a－2，当x＝a＋2时，因为函数f(x)的对称轴为x＝a＋2，故可判断A＝f(a＋2)＝－4a－4.B＝f(a－2)＝－4a＋12，所以A－B＝－16.答案：B6．解析：命题具体分析结论①由关系式f(x1＋x22)≤12[f(x1)＋f(x2)]无法推出函数是否连续不正确②特殊函数法，f(x)＝－x在[1,3]上具有性质P，而f(x2)＝－x2显然不具备性质P不正确③在[1,3]中任取一个数x(1≤x≤3)，则4－x同样在[1,3]内，f(2)＝1＝f(x)max.又因为f(x＋4－x2)≤12[f(x)＋f(4－x)]，即f(x)＋f(4－x)≥2.又因为f(x)≤1，f(4－x)≤1，所以f(x)＝1，f(4－x)＝1正确④f(x1＋x2＋x3＋x44)＝f(x1＋x22＋x3＋x422)≤12[f(x1＋x22)＋f(x3＋x42)]≤14[f(x1)＋f(x2)]＋14[f(x3)＋f(x4)]＝14[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]正确答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：函数f(x)的定义域为(－12，＋∞)，令t＝2x＋1(t＞0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为(－12，＋∞)．答案：(－12，＋∞)8．解析：令t＝x，则t∈[0,2]，于是y＝t2＋2t＝(t＋1)2－1，显然它在t∈[0,2]上是增函数，故t＝2时，M＝8；t＝0时N＝0，∴M＋N＝8.答案：849．解析：依题意，h(x)＝log2x，0＜x≤2，－x＋3，x＞2.当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.答案：110．解析：由于两个单调性相同的函数的和函数的单调性不变，且函数y＝－f(x)与y＝f(x)在同一单调区间内的单调性相反，则可知命题②和③是正确的，故填②③.答案：②③三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：(1)证明：任取x1＜x2＜－2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2x2＋2－x1x1＋2＝2Δxx1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，Δx＞0，∴Δy＞0，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)f(x)＝xx－a＝x－a＋ax－a＝1＋ax－a，当a＞0时，f(x)在(a，＋∞)，(－∞，a)上是减函数，又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a的取值范围为(0,1]．12．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－1x，设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1＞0.f(x1)－f(x2)＝(a－1x1)－(a－1x2)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2＜0.∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a－1x＜2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋1x，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．13．解：(1)证明：证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．证法二：设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.