2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库2-13导数的应用(二)

第十三节导数的应用(二)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a＝13B．a＝1C．a＝2D．a≤0解析y′＝3ax2－1，因为函数y＝ax3－x在R上是减函数，所以3ax2－1≤0在R上恒成立，所以a≤0.故选D.答案D2．已知a≤1－xx＋lnx对任意x∈12，2恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．3解析设f(x)＝1－xx＋lnx＝1x＋lnx－1，则f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈12，1时，f′(x)0，故函数f(x)在12，1上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝0.∴a≤0，故a的最大值为0.故选A.答案A3．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A．－2m2B．－2≤m≤2C．m－2或m2D．m≤－2或m≥2解析y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2m2.答案A4．设a0，b0，e是自然对数的底数()A．若ea＋2a＝eb＋3b，则abB．若ea＋2a＝eb＋3b，则abC．若ea－2a＝eb－3b，则abD．若ea－2a＝eb－3b，则ab解析∵a0，b0，∴ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋beb＋2b.对于函数y＝ex＋2x(x0)，∵y′＝ex＋20，∴y＝ex＋2x在(0，＋∞)上单调递增，因而ab成立．答案A5．(2014·青岛模拟)如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝127分钟时的瞬时变化率为(注：π≈3.1)()A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．99分米/分钟解析设t时刻水面高度为h，半径为r，则r＝33h.此时水的体积V＝13πr2h＝19πh3，又V＝9.3t所以19πh3＝9.3t，且π≈3.1.∴h＝3t13，则h′＝t－23，故当t＝127分钟时的瞬时变化率为(127)－23＝9.答案B6．(2014·东北三省联考)已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f(x)f′(x)，对于任意x∈R恒成立，则()A．f(2)e2·f(0)，f(2010)e2010·f(0)B．f(2)e2·f(0)，f(2010)e2010·f(0)C．f(2)e2·f(0)，f(2010)e2010·f(0)D．f(2)e2·f(0)，f(2010)e2010·f(0)解析设g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′xex－fxexex2，又f(x)f′(x)对x∈R恒成立，所以g′(x)0，所以g(x)在R上单调递增．g(2)g(0)，f2e2f0e0，f(2)e2f(0)，g(2010)g(0)，f2010e2010f0e0，f(2010)e2010f(0)，选A.答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0x40时，y′0；当x40时，y′0.所以当x＝40时，y有最小值．答案408．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析方程可化为a＝x3－3x2，设f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)0，得x2或x0；由f′(x)0，得0x2，所以f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故f(x)在x＝0处有极大值，f(0)＝0.在x＝2处有极小值f(2)＝－4.要使方程有三个不同的实根，则有－4a0.答案(－4,0)9．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f(π2)，f(2)的大小关系为________．解析由f(－x)＝f(x)知，函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(0，π2)时，f′(x)0，x∈(π2，π)时，f′(x)0.∴f(x)在区间(π2，π)上是减函数．∴f(π2)f(2)f(3)＝f(－3)．答案f(－3)f(2)f(π2)三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，(1)求函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，①求实数a，b的值；②求函数f(x)在1e，e上的最大值．(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈0，32，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．解(1)①f′(x)＝ax－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，∴f′1＝a－2b＝0，f1＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.②f(x)＝lnx－12x2，f′(x)＝1x－x＝1－x2x，当1e≤x≤e时，令f′(x)0得1e≤x1；令f′(x)0，得1x≤e，∴f(x)在1e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减．∴f(x)max＝f(1)＝－12.(2)当b＝0时，f(x)＝alnx，不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈0，32，x∈(1，e2]都成立，即alnx≥m＋x对所有的a∈0，32，x∈(1，e2]都成立，即m≤alnx－x对所有的a∈0，32，x∈(1，e2]都成立，令h(a)＝alnx－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.∵x∈(1，e2]，∴lnx0.∴h(a)在a∈0，32上单调递增．∴h(a)min＝h(0)＝－x.∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立．∵1x≤e2，∴－e2≤－x－1，∴m≤(－x)min＝－e2.11．(2014·济南模拟)济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)．现已知相距36km的A，B两家化工厂(污染源)的污染程度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．解(1)设点C受A污染源污染指数为kax，点C受B污染源污染指数为kb36－x，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y＝kax＋kb36－x(0x36)．(2)因为a＝1，所以y＝kx＋kb36－x，y′＝k[－1x2＋b36－x2]，令y′＝0，得x＝361＋b，当x∈(0，361＋b)时，函数单调递减；当x∈(361＋b，＋∞)时，函数单调递增，∴当x＝361＋b时，函数取得最小值又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度b的值为25.12．(理)(2013·天津卷)已知函数f(x)＝x2lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：对任意的t0，存在唯一的s，使t＝f(s)；(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当te2时，有25lngtlnt12.解(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1e.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1e)1e(1e，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1e)，单调递增区间是(1e，＋∞)．(Ⅱ)证明：当0x≤1时，f(x)≤0.设t0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．由(Ⅰ)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．(Ⅲ)证明：因为s＝g(t)，由(Ⅱ)知，t＝f(s)，且s1，从而lngtlnt＝lnslnfs＝lnslns2lns＝lns2lns＋lnlns＝u2u＋lnu，其中u＝lns.要使25lngtlnt12成立，只需0lnuu2.当te2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾，所以se，即u1，从而lnu0成立．另一方面，令F(u)＝lnu－u2，u1.F′(u)＝1u－12，令F′(u)＝0，得u＝2.当1u2时，F′(u)0；当u2时，F′(u)0.故对u1，F(u)≤F(2)0.因此lnuu2成立．综上，当te2时，有25lngtlnt12.12．(文)已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．解(1)∵f(x)＝x2＋lnx，∴f′(x)＝2x＋1x.∵x1时，f′(x)0，故f(x)在[1，e]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－23x3＋lnx，∴F′(x)＝x－2x2＋1x＝x2－2x3＋1x＝x2－x3－x3＋1x＝1－x2x2＋x＋1x.∵x1，∴F′(x)0.∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴F(x)F(1)＝12－23＝－160，即f(x)g(x)．∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．