2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库2-14定积分与微积分基本定理(理)

第十四节定积分与微积分基本定理(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·江西卷)若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1解析本题考查微积分基本定理．S1＝12x2dx＝x33|21＝73.S2＝121xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.S3＝12exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)．令e＝2.7，∴S33S1S2.故选B.答案BA．3B．4C．3.5D．4.5解析答案C3．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.02x2－1dxB.02(x2－1)dxC.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋02(x2－1)dx解析面积S＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝02|x2－1|dx，故选C.答案C4．(2012·湖北卷)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2解析答案B5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2解析令v(t)＝0,7－3t＋251＋t＝0∴3t2－4t－32＝0，∴t＝4，则汽车行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案C6．(2014·武汉调研)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝1x(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为()A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·湖南卷)若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．解析∵0Tx2dx＝x33|T0＝T33＝9，∴T＝3.答案38．(2014·厦门市质检)计算：01(x2＋1－x2)dx＝______.解析01(x2＋1－x2)dx＝01x2dx＋011－x2dx＝x3310＋14π＝13＋π4.答案13＋π49．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B12，5、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．解析设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，得y＝10x.代入B，C两点，则5＝12k＋b，0＝k＋b，∴k＝－10，b＝10.∴f(x)＝10x，0≤x≤12，－10x＋10，12＜x≤1.∴y＝xf(x)＝10x2，0≤x≤12，－10x2＋10x，12＜x≤1.答案54三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．若f(x)是一次函数，且01f(x)dx＝5，01xf(x)dx＝176，求12fxxdx的值．解∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由01(ax＋b)dx＝5，得12ax2＋bx|10＝12a＋b＝5.①由01xf(x)dx＝176，得01(ax2＋bx)dx＝176.即13ax3＋12bx2|10＝176.∴13a＋12b＝176.②解①②，得a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3.于是12fxxdx＝124x＋3xdx＝12(4＋3x)dx＝(4x＋3lnx)|21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积S＝01(x－x2)dx＝x22－x33|10＝12－13＝16.又可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以S2＝∫1－k0(x－x2－kx)dx＝1－k2x2－x33|1－k0＝16(1－k)3.又知S＝16，所以(1－k)3＝12.于是k＝1－312＝1－342.12．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.(1)求常数a，b的值；(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．解(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，即1＋a＋b＝－2，3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.作出曲线y＝x3－3x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为