2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷四

阶段示范性金考卷四一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α解析：选项A中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有三种；选项B中，只有m、n相交时成立；选项C中，只有m垂直于交线时成立．选D.答案：D2．如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：连接AC、BD交于点O，连接OE，OP，易得OE∥PA，∴所求角为∠BEO.∵PO⊥OB，OB⊥OA，∴OB⊥平面PAC，OB⊥OE.由所给条件易得OB＝62，OE＝12PA＝22，在△OBE中，tan∠OEB＝3，∴∠OEB＝π3，选C.答案：C3．如图，三棱锥A－BCD的底面为正三角形，侧面ABC与底面垂直且AB＝AC，若该四棱锥的正(主)视图的面积为2，则侧(左)视图的面积为()A.33B.3C.23D.13解析：由题意可知，该四棱锥的正(主)视图为△ABC，设底面边长为2a，BC中点为O，则AO⊥BC，则AO⊥平面BCD，设AO＝h，则△ABC的面积为12·2a·h＝ah＝2，侧(左)视图为△AOD，则面积为12OD·AO＝12·3a·h＝32ah＝3.答案：B4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是()A.212B.224C.312D.324解析：∵EF⊥DE，EF∥AC，∴AC⊥DE，易知AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD.由AB＝AC＝AD＝22，可得所求体积为13×12×22×22×22＝224.答案：B5．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是()A．2πB.423C.2D.23解析：设圆柱的底面半径为r，故其侧面积S侧＝2πr·2R2－r2＝4πr2R2－r2，当S侧最大时，r2＝R2－r2，r2＝R22，所以r＝22R，此时圆柱的高h＝2R，V球V圆柱＝43πR3π×22R2×2R＝423，选B.答案：B6．[2012·长春一模]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：在如图所示的长方体中，A1A⊥A1B1，A1A⊥平面ABCD，A1B1⊄平面ABCD，则A1B1∥平面ABCD，①正确；设A1B1为a，平面AC为α，平面A1B为β，显然有a∥α，α⊥β，但得不到a⊥β，②不正确；可设A1A为a，平面AC为β，平面A1D或平面B1C为α，满足③的条件且得a∥α或a⊂α，③正确；设A1B1为a，平面A1D为α，A1A为b，平面AC为β，满足④的条件且得到α⊥β，④正确．答案：C7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A．23B．25C.433D.533解析：该几何体是三棱柱中截去一个棱锥，三棱柱的底面边长为2，高是2，截去的三棱锥底面边长是2，高是1，所以该几何体的体积是V＝12×2×3×2－13×12×2×3×1＝533.答案：D8．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确．答案：D9．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为()A.292B.135C.175D.1195解析：过A作AE⊥BD于E.连接PE.因为PA⊥平面AC，BD⊂平面AC，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAE，所以BD⊥PE，即PE就是点P到BD的距离，因为AE＝AB·ADBD＝3×432＋42＝125，PA＝1，所以PE＝135.答案：D10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O1、O分别为上、下底面的中心，且球心O2为O1O的中点，则AD＝32a，AO＝33a，OO2＝a2，设球O2的半径为R，则R2＝AO22＝13a2＋14a2＝712a2.∴该球的表面积S球＝4πR2＝4π×712a2＝73πa2.答案：B11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A.2B.3C.2D.1解析：连接AC，与BD交于点O，连接OE，因为O，E分别是AC，CC1的中点，所以OE∥AC1，且OE＝12AC1，所以AC1∥平面BED，直线AC1与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离．过C作CF⊥OE于F，则CF即为所求距离．因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为22，所以AC＝22，OC＝2，CE＝2，OE＝2，利用等面积法得CF＝OC·CEOE＝1，选D.答案：D12．如图，边长为a的等边△ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，对于下列叙述错误的是()A．平面A′FG⊥平面ABCB．BC∥平面A′DEC．三棱锥A′－DEF的体积最大值为164a3D．直线DF与直线A′E可能共面解析：A项中，由已知可得四边形ADFE是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，A项正确；又BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，B项正确；当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－DEF的体积达到最大，最大值为13×14×34a2×34a＝164a3，C项正确；在旋转过程中DF与直线A′E始终异面，D项不正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体．圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为2，三棱锥的高为3，所以三棱锥的体积为13×12×2×2×3＝33，所以该几何体的体积为π＋33.答案：π＋3314．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱锥外接球的半径为________．解析：底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥的外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r＝233，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，故球的半径R＝r2＋d2＝73＝213.答案：21315．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．解析：取CC1的中点F，连接EF，MF，EF交平面BB1D1D于点N，则EN＝FN，所以F点是E点关于平面BB1D1D的对称点，则AM＋ME＝AM＋MF，所以当A，M，F三点共线时，AM＋MF最小，即AM＋ME最小，此时AM＋MF＝AF＝3a2.答案：3a216．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N，P，Q分别在棱A1D1，A1B1，B1C1，BC上移动，则四面体MNPQ的最大体积是________．解析：由图可知，四面体MNPQ的体积就是三棱锥Q－MNP的体积，而三棱锥的高是a，当底面△MNP的面积最大时体积最大，S△MNP最大＝12a2，所以四面体MNPQ的最大体积是13×12a2×a＝16a3.答案：16a3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC.(1)求证：BE∥平面PDA；(2)求证：平面PBD⊥平面PBE.证明：(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，又EC∩BC＝C，故平面BEC∥平面PDA.又∵BE⊂平面EBC，因此BE∥平面PDA.(2)连接AC交BD于点O，取PB的中点F，连接OF.由于FO∥PD，又∵EC∥PD，∴FO∥EC，且FO＝EC，因此OCEF为平行四边形，于是OC∥EF.又∵OC⊥平面PBD，∴EF⊥平面PBD，又∵EF⊂平面PBE，故平面PBD⊥平面PBE.18．(本小题满分12分)如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图(2)所示．(1)求四面体PBFC的体积；(2)证明：AE∥平面PFC；(3)证明：平面PFC⊥平面PCD.解：(1)由侧视图可得F为AB的中点，BF＝1，所以△BFC的面积S＝12×1×2＝1.因为PA⊥平面ABCD，所以四面体PBFC的体积VP－BFC＝13S△BFC×PA＝13×1×2＝23.(2)取PC的中点Q，连接EQ，FQ.由正视图可得E为PD的中点，所以EQ∥CD，EQ＝12CD.又因为AF∥CD，AF＝12CD，所以AF∥EQ，AF＝EQ.所以四边形AFQE为平行四边形，所以AE∥FQ.因为AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，所以AE∥平面PFC.(3)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD.所以CD⊥平面PAD.因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.因为PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD.所以AE⊥平面PCD.由(2)知AE∥FQ，所以FQ⊥平面PCD.因为FQ⊂平面PFC，所以平面PFC⊥平面PCD.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．(1)求证：PA∥平面BMD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．∵M为PC的中点，∴MO∥AP.∵PA⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD.(2)∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.∵∠BAD＝∠BCD＝60°，AB＝2AD，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝AB2＋AD2－2AD2＝AB2－AD2.∴AB2＝AD2＋BD2.∴AD⊥BD.∵PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AD⊥平面PBD.∵PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB.20．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A－BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若CD＝3，AC＝10，求点C到平面DEF的距离．解：(1)∵△BEC为正三角形，F为BC的中点，∴EF⊥BC.∵EF∥AB，∴AB⊥BC.又∵AB⊥BC，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD＝A，∴CD⊥平面ABD.(2)设点C到平面DEF的距离为h，∵AC＝10，∴BE＝BC＝5，∴AB＝2EF＝53，在Rt△BDC中，∵