2015高考数学(江苏专用,文科)专题3第2讲

第2讲参数法在解题中的应用[方法精要]在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．题型一参数法在函数问题中的应用例1定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．破题切入点(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．(2)将恒成立问题转化成函数最值问题．(1)解令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.(2)证明令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(3)解方法一因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．f(k·3x)－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x－3x＋9x＋2，32x－(1＋k)·3x＋20对任意x∈R成立．令t＝3x0，问题等价于t2－(1＋k)t＋20对任意t0恒成立．令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝1＋k2，当1＋k20即k－1时，f(0)＝20，符合题意；当1＋k2≥0即k≥－1时，对任意t0，f(t)0恒成立⇔1＋k2≥0，Δ＝1＋k2－4×20，解得－1≤k－1＋22.综上所述，当k－1＋22时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)0对任意x∈R恒成立．方法二由k·3x－3x＋9x＋2，得k3x＋23x－1.u＝3x＋23x－1≥22－1,3x＝2时，取“＝”，即u的最小值为22－1，要使对x∈R，不等式k3x＋23x－1恒成立，只要使k22－1.题型二参数法在数列问题中的应用例2设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．破题切入点求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量．解(1)设公差为d，则a22－a25＝a24－a23，由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋7×62d＝7，解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)因为an＝2n－7，所以amam＋1am＋2＝2m－72m－52m－3，设2m－3＝t，则amam＋1am＋2＝t－4t－2t＝t＋8t－6，所以t为8的约数．又因为t是奇数，所以t可取的值为±1，当t＝1时，m＝2，t＋8t－6＝3,2×5－7＝3＝a5是数列{an}中的项；当t＝－1时，m＝1，t＋8t－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5，故不是数列中的项．所以满足条件的正整数m的值为2.题型三参数法在不等式中的应用例3已知2x＝3y＝5z，试比较2x、3y、5z的大小．破题切入点本题的解决需要引入中间变量t(参数)，必须使得x，y，z都能用这个参数t表示，而后通过作差即可进行大小的比较．解设2x＝3y＝5z＝t(t1)，则x＝log2t，y＝log3t，z＝log5t，所以2x－3y＝2log2t－3log3t＝lgt2lg2－lgt3lg3＝lgt(2lg3－3lg2lg3×lg2)＝lgt(lg9－lg8lg3×lg2)，因为lgt0，lg9－lg8lg3×lg20，所以lgt(lg9－lg8lg3×lg2)0，所以2x3y；同理5z－2x＝lgt(lg32－lg25lg2×lg5)0，所以5z2x3y.题型四参数法在解析几何中的应用例4(2013·浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求MN的最小值．破题切入点(1)已知抛物线焦点坐标为F(0,1)，可直接写出抛物线方程；(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值．解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p0)，则p2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理，点N的横坐标xN＝84－x2.所以MN＝2|xM－xN|＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－4x1＋x2＋16＝82k2＋1|4k－3|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t0时，MN＝2225t2＋6t＋122.当t0时，MN＝225t＋352＋1625≥852.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，MN的最小值是852.总结提高数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样，设参数而不求参数，只是利用其作为中间变量辅助计算，是常见的形式．其综合性强，知识面广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当的选取参数，然后利用参数提供的信息，顺利解答问题．1．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．答案2解析∵x0，y0，∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥x＋22xyx＋y，而x＋22xyx＋y≤x＋x＋2yx＋y＝2，∴当且仅当x＝2y时，x＋22xyx＋ymax＝2.∴λ的最小值为2.2．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y构成，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值是________．答案4解析如图作出区域D，目标函数z＝2x＋y过点(2，2)时取最大值，故z的最大值为2×2＋2＝4.3．将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．答案π6解析y＝3cosx＋sinx＝2sin(x＋π3)向左平移m个单位长度后得到y＝2sin(x＋π3＋m)，它关于y轴对称可得sin(π3＋m)＝±1，∴π3＋m＝kπ＋π2，k∈Z，∴m＝kπ＋π6，k∈Z，∵m0，∴m的最小值为π6.4．已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，则x的取值范围为________．答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3.原题转化为当m∈12，3时，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，即m(x－2)＋(x－2)20恒成立．令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，问题转化为g(m)在m∈12，3上恒大于0，则g120，g30，即12x－2＋x－220，3x－2＋x－220.解得x2或x－1.5．若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.答案14解析讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0a1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．6．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(x∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝________.答案1解析因为f[g(1)]＝1＝50，所以g(1)＝0，即a－1＝0，所以a＝1.7．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A、B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.答案4±15解析根据题意，圆心到直线ax＋y－2＝0的距离为3，所以|a＋a－2|a2＋1＝3，解得a＝4±15.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解(1)由y＝2x－4，y＝x－1得圆心C为(3,2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，∴|3k－2＋3|k2＋1＝1，∴|3k＋1|＝k2＋1，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－34，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－34x＋3，即切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以，设圆心C为(a,2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1，又∵MA＝2MO，∴设M为(x，y)，则x2＋y－32＝2x2＋y2，整理得：x2＋(y＋1)2＝4.此圆设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，∴|2－1|≤a2＋[2a－4－－1]2≤|2＋1|，由5a2－12a＋8≥0得a∈R；由5a2－12a≤0得0≤a≤125.综上所述，a的取值范围为[0，125]．9．已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．解(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得a31q3＝125，|a1q－a1q2|＝10，解得a1＝53，q＝3或a1＝－5，q＝－1.故an＝53·3n－1或an＝(－5)·(－1)n－1.(2)若an＝53·3n－1，则1an＝3513n－1，故数列1an是首项为35，公比为13的等比数列．从而n＝1m1an＝351－13m1－13＝910·1－13m9101.若an＝(－5)·(－1)n－1，则1an＝－15(－1)n－1，故数列1an是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而n＝1m1an＝