2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习试题专题三数列第1部分专题3第2讲

一、选择题1．(2014·杭州质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使Sn＞0成立的最小正整数n为()．A．6B．7C．8D．9解析∵a4＜0，a5＞|a4|，∴a4＋a5＞0，∴S8＝8a4＋a52＝8a1＋a82＞0.∴最小正整数为8.答案C2．(2014·广州综合测试)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sinn＋1π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝()．A．1006B．1007C．1008D．1009解析由an＋1－an＝sinn＋1π2⇒an＋1＝an＋sinn＋1π2，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin3π2＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin5π2＝0＋1＝1，∴a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2014＝4×503＋2，因此S2014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.答案C3．(2014·成都诊断)在等差数列{an}中，a1＝142，d＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是()．A．23B．24C．25D．26解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{bn}，所以新数列的首项为b1＝a1＝142，公差为d′＝－2×3＝－6，则bn＝142＋(n－1)(－6)．令bn≥0，解得n≤2423，因为n∈N*，所以数列{bn}的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{bn}的前24项和取得最大值．故选B.答案B4．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am·an＝4a1，则1m＋4n的最小值为()．A.32B．53C.256D．43解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由am·an＝4a1，得aman＝16a21，即a212m＋n－2＝16a21，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝164mn＋nm＋5≥1624mn·nm＋5＝32，当且仅当4mn＝nm，m＋n＝6，即n＝2m＝4时取得最小值32.答案A二、填空题5．(2013·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{an}，其中a1＝2，q＝2，则Sn＝a11－qn1－q＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天数n＝6.答案66．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.解析根据题意，由于各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1，所以q＞1.∵a2a1＝q，∴a1(q－1)＝1，a1＝1q－1，∴a3＝q2q－1＝q－12＋2q－1＋1q－1＝q－1＋1q－1＋2≥2q－1·1q－1＋2＝4，当且仅当q＝2时取得等号，故可知数列{an}的通项公式an＝2n－1.答案2n－17．(2014·咸阳一模)已知函数f(x)＝x＋sinx，项数为19的等差数列{an}满足an∈－π2，π2，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.解析因为函数f(x)＝x＋sinx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{an}有19项，an∈－π2，π2，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则必有f(a10)＝0，所以k＝10.答案108．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析由已知S10＝10a1＋10×92d＝0，S15＝15a1＋15×142d＝25，解得a1＝－3，d＝23，那么nSn＝n2a1＋n2n－12d＝n33－10n23，由于函数f(x)＝x33－10x23(x＞0)在x＝203处取得极小值也是最小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.答案－49三、解答题9．(2014·邯郸模拟)已知等比数列{an}前n项和为Sn，且满足S3＝72，S6＝632，(1)求数列{an}的通项公式；(2)求log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a25的值．解(1)法一由S3＝72，S6＝632，得a11－q31－q＝72，a11－q61－q＝632，解得1－q61－q3＝9，得q＝2，a1＝12，所以，通项公式为an＝2n－2.法二由S3＝72，S6＝632，得a1＋a2＋a3＝72，a4＋a5＋a6＝28，得q3＝8，q＝2，a1＝12，所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－2.(2)因为log2an＝n－2，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a25＝－1＋1＋3＋…＋23＝－1＋23×132＝143.10．(2014·皖南八校联考)设点Pn(an，n)(n＝1,2，…)，且P1(1,1)，PnPn＋1＝(n＋1,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列1an的前n项的和，是否存在正整数m，使得Sn＜m－20142对一切n∈N*成立？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解(1)由题意得an＋1－an＝n＋1，且a1＝1，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋2＋…＋n＝nn＋12.即数列{an}的通项公式为an＝nn＋12，(2)由(1)知1an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，∴Sn＝21－1n＋1＜2.若Sn＜m－20142对一切n∈N*成立，则m－20142≥2，∴m≥2018.故m的最小值为2018.11．已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N*)．(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；(2)若数列{cn}满足cn＝an4n－1·bn－1，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn3.(1)解因为点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上，所以a2n＝S2n－1.令n＝1，n＝2，得a21＝S1，a22＝S3，即a21＝a1，a1＋d2＝3a1＋3d，解得a1＝1，d＝2(d＝－1舍去)，则an＝2n－1.由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)，得4(bn－bn＋1)(bn－1)＝(bn－1)2.由题意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1，即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以bn＋1－1bn－1＝34.所以数列{bn－1}是以1为首项，公比为34的等比数列．(2)证明由(1)，得bn－1＝34n－1.cn＝an4n－1·bn－1＝2n－14n－1·34n－1＝2n－13n－1.令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，则Tn＝130＋331＋532＋…＋2n－33n－2＋2n－13n－1，①13Tn＝131＋332＋533＋…＋2n－33n－1＋2n－13n，②①－②得，23Tn＝130＋231＋232＋233＋…＋23n－1－2n－13n＝1＋23·1－13n－11－13－2n－13n＝2－13n－1－2n－13n＝2－2n＋13n.所以Tn＝3－n＋13n－1.所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝3－n＋13n－13.