31回归分析的基本思想及其初步应用学案(选修2-3)

3.1回归分析的基本思想及其初步应用问题导学一、求线性回归方程活动与探究1某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：月份12345678产量(吨)5.66.06.16.47.07.58.08.2成本(万元)130136143149157172183188以产量为x，成本为y．(1)画出散点图；(2)y与x是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．迁移与应用1．(2013海南海口模拟)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为()A．y^＝x＋1B．y^＝x＋2C．y^＝2x＋1D．y^＝x－12．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．(方程的斜率精确到个位)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．二、线性回归分析活动与探究2某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数(x)3033353739444650成绩(y)3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；(4)计算R2，并说明其含义．迁移与应用1．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元2．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据为：x(元)1416182022y(件)1210753且知x与y具有线性相关关系，求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－i＝1nyi－y^i2i＝1nyi－y2可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．三、非线性回归分析活动与探究3下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．迁移与应用1．在彩色显影中，由经验知形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝ebxA(b＜0)表示，现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.47yi0.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29则y对x的回归方程是__________．2．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程．非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)确定性非确定性(2)相关(3)i＝1n(xi－x)(yi－y)i＝1n(xi－x)2＝1221niiiniixynxyxnxy－b^x样本点的中心(4)随机误差解释变量预报变量预习交流1D2．yi－bxi－ayi－y^iyi－b^xi－a^3．1－i＝1n(yi－y^i)2i＝1n(yi－y)2解释变量预报变量1预习交流2提示：散点图可以说明变量间有无线性相关关系，只能粗略地说明两个变量之间关系的密切程度，而相关指数R2能精确地描述两个变量之间的密切程度．预习交流3提示：(1)回归方程只适用于所研究的样本的总体．(2)所建立的回归方程一般都有时间性．(3)样本的取值范围会影响回归方程的适用范围．(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：画出散点图，观察图形的形状得x与y是否具有线性相关关系．把数值代入回归系数公式求回归方程．解：(1)由表画出散点图，如图所示．(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．序号xiyixi2yi2xiyi15.613031.3616900728.026.013636.0018496816.036.114337.2120449872.346.414940.9622201953.657.015749.00246491099.067.517256.25295841290.078.018364.00334891464.088.2[18867.24353441541.6∑54.81258382.022011128764.5x＝6.85，y＝157.25．∴b^＝81822188iiiiixyxyxx＝8764.5－8×6.85×157.25382.02－8×6.852≈22.17，a^＝y－b^x＝157.25－22.17×6.85≈5.39，故线性回归方程为y^＝22.17x＋5.39．迁移与应用1．A解析：方法一：x＝1＋2＋3＋44＝52，y＝2＋3＋4＋54＝72．故b^＝1－522－72＋2－523－72＋3－524－72＋4－525－721－522＋2－522＋3－522＋4－522＝322＋122＋122＋322322＋122＋122＋322＝1，a^＝y－b^x＝72－52＝1．因此，y^＝x＋1，故选A．方法二：也可由回归直线方程一定过点(x，y)，即52，72，代入验证可排除B，C，D．故应选A．2．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为y^＝b^x＋a^，由题知x＝42.5，y＝34，则求得b^＝i＝14(xi－x)(yi－y)i＝14(xi－x)2＝－370125≈－3．a^＝y－b^x＝34－(－3)×42.5＝161.5．∴y^＝－3x＋161.5．(2)依题意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3x－251.562＋251.5212－4845．∴当x＝251.56≈42时，P有最大值，约为426．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．活动与探究2思路分析：先画出散点图，确定是否具有线性相关关系，求出回归方程，再求出残差，确定模型的拟合的效果和R2的含义．解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)x＝39.25，y＝40.875，i＝18x2i＝12656，i＝18y2i＝13731，i＝18xiyi＝13180，∴b^＝i＝18(xi－x)(yi－y)i＝18(xi－x)2＝i＝18xiyi－8xyi＝18x2i－8x2≈1.0415，a^＝y－b^x＝－0.003875，∴线性回归方程为y^＝1.0415x－0.003875．(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算得相关指数R2≈0.9855，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．迁移与应用1．B解析：∵a^＝y－b^x＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y^＝9.4x＋9.1．令x＝6，得y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．2．解：x＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，521iix＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，521iiy＝122＋102＋72＋52＋32＝327，i＝15xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b^＝51522155iiiiixyxyxx＝620－5×18×7.41660－5×182＝－4640＝－1.15．∴a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，∴回归直线方程为y^＝－1.15x＋28.1．列出残差表为：yi－y^i00.3－0.4－0.10.2yi－y4.62.6－0.4－2.4－4.4∴i＝15(yi－y^i)2＝0.3，i＝15(yi－y)2＝53.2，R2＝1－i＝15(yi－y^i)2i＝15(yi－y)2≈0.994．故R2≈0.994说明拟合效果较好．活动与探究3思路分析：先由数值表作出散点图，然后根据散点的形状模拟出近似函数，进而转化为线性函数，由数值表求出回归函数．解：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线21ecxyc的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为z^＝0.272x－3.849，∴y^＝e0.272x－3.849．残差yi711212466115325y^i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325e^i0.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1131．迁移与应用1．0.151.73exy解析：由题给的经验公式y＝ebxA，两边取自然对数，便得lny＝lnA＋bx．与线性回归直线方程相对照，只要取u＝1x，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu，这是v对u的线性回归方程．对此我们已经掌握了一套相关性检验，求a与回归系数b的方法．题目所给数据经变量置换u＝1x，v＝lny变成如下表所示的数据：ui20.00016.6674.0003.22614.28610.000vi－2.303－1.96600.113－1.470－0.994ui2.6322.3267.1435.0002.128vi0.1740.223－0.528－0.2360.255|r|≈0.998＞0.75，故v与u之间具有很强的线性相关关系，求回归直线方程是有意义的．由表中数据可得b^≈－0.15，a^≈0.55，即v^＝0.55－0.15u．把u与v换回原来的变量x与y，即u＝1x，v＝lny，故lny^＝0.55－0.15x，即y^＝0.150.55ex＝e0.550.15ex≈0.151.7