2015高考数学优化指导第4章第4节

第四章第四节1．(2014·合肥模拟)将函数f(x)＝sin2x＋π3的图象向左平移π12个单位，得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝cos2xB．g(x)＝－cos2xC．g(x)＝sin2xD．g(x)＝sin2x＋5π12解析：选Ag(x)＝sin2x＋π12＋π3＝sin2x＋π2＝cos2x，故选A.2．(2014·银川高三模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋π6)(ω＞0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，要得到函数g(x)＝Acosωx的图象，只需将f(x)的图象()A．向左平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移2π3个单位D．向右平移2π3个单位解析：选A∵f(x)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，∴最小正周期T＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin2x＋π6.∵Asin2x＋π6＋π6＝Asin2x＋π2＝Acos2x，∴将f(x)的图象向左平移π6个单位即可得到g(x)的图象．选A.3．(2014·银川模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)其中|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f(x)的图象上所有点()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度解析：选A由题意可得14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2.由五点法可得2×π3＋φ＝π，∴φ＝π3，故函数f(x)＝sinωx＋π3＝sin2x＋π3＝sin2x＋π6，故把y＝f(x)的图象向右平移π6个单位可得y＝sinωx的图象．故选A.4．(2014·辽宁五校联考)设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f16的值为()A．－34B．－14C．－12D．34解析：选D由题意知点M到x轴的距离为12，根据题意设f(x)＝12cosωx，又半周期是1，所以12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cosπx，故f16＝12cosπ6＝34.故选D.5．(2014·辽宁实验中学调研)某种商品一年内每件出厂价在7万元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份达到最低价5万元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)解析：选D根据题意知函数最大值为9，最小值为5，故A＝2，B＝7，又最小正周期T＝2πω＝8，所以ω＝π4.又f(3)＝9，所以φ＝－π4，所以f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)．故选D.6．(2012·浙江高考)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：选Ay＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cosx＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应图象为A.7．把函数y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝π6解析：选Ay＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将图象向右平移π3个单位，得到函数y＝sin2x－π3＋π6＝sin2x－π2的图象，x＝－π2是其图象的一条对称轴方程，故选A.8．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9解析：选C由题知π3＝kT＝k·2πω，ω＝6k(k∈Z)，又ω＞0，所以ω的最小值为6，故选C.9．(2014·衡水中学检测)如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为________cm.解析：－1.5易得位移S(t)＝3sin23πt＋π2，则S(5)＝－1.5，即该物体5s时刻的位移为－1.5cm.10．定义一种运算“⊗”：(a1，a2)⊗(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(3，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．解析：5π12由新定义可知f(x)＝3cos2x－sin2x＝2cos2x＋π6，将函数f(x)的图象向左平移n(n＞0)个单位长度后得到y＝2cos2x＋2n＋π6的图象，该函数为偶函数，则2n＋π6＝kπ(k∈Z)，即n＝kπ2－π12，又n＞0，所以n的最小值为5π12.11．已知f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：143由题意知，当x＝π6＋π32＝π4时，y有最小值，∴sinπ4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2kπ＋3π2(k∈Z)．∴ω＝8k＋143(k∈Z)，因为f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4＜πω，即ω＜12，令k＝0，得ω＝143.12．(2014·贵阳一中模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值为________．解析：40292由f(x)的图象可以得到A＝12，b＝1，T＝4，所以ω＝π2，故f(x)＝12sinπ2x＋φ＋1，再由点1，32在f(x)的图象上，可得φ＝2kπ，k∈Z，所以f(x)＝12sinπ2x＋1.所以函数周期为4.又f(1)＝12＋1，f(2)＝0＋1，f(3)＝－12＋1，f(4)＝0＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝503[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(2013)＋f(2014)＝503×4＋f(1)＋f(2)＝40292.13．已知函数f(x)＝23sinx2＋π4cosx2＋π4－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝3sinx＋π2＋sinx＝3cosx＋sinx＝232cosx＋12sinx＝2sinx＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝fx－π6＝2sinx－π6＋π3＝2sinx＋π6.∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，7π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，sinx＋π6＝1，g(x)取得最大值2.当x＋π6＝7π6，即x＝π时，sinx＋π6＝－12，g(x)取得最小值－1.14．(2014·郑州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝3fx－π4＋f(x)且tanα＝3，求g(α)的值．解：(1)由已知得A＝1，T2＝π3－－π6＝π2，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2.又由sin2×－π6＋φ＝0，|φ|＜π2，得φ＝π3.∴f(x)＝sin2x＋π3.(2)∵f(x)＝sin2x＋π3，∴g(x)＝3sin2x－π4＋π3＋sin2x＋π3＝3sin2x－π6＋sin2x＋π3＝3sin2xcosπ6－cos2xsinπ6＋sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝2sin2x.∵tanα＝3，∴g(α)＝2sin2α＝4sinαcosαsin2α＋cos2α＝4tanα1＋tan2α＝1210＝65.1．函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A．－32B．－12C．12D．32解析：选A函数f(x)的图象向左平移π6个单位得f(x)＝sin2x＋φ＋π3的图象，因为函数是奇函数，所以φ＋π3＝kπ，k∈Z，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f(x)＝sin2x－π3.又x∈0，π2，所以2x－π3∈－π3，23π，所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－32.故选A.2．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π12，kπ＋5π12，k∈ZB.kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈ZC.kπ－π3，kπ＋π6，k∈ZD.kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z解析：选Cf(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π6，由题设知f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin2x＋π6.由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)得，kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，故选C.3．(2014·山西高三联考)对于函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈R)给出下列命题：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间π2，5π8上是减函数；③直线x＝π8是f(x)的图象的一条对称轴；④f(x)的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是______(把你认为正确的都填上)．解析：②③f(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4，最小正周期T＝π；由2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，故f(x)在区间π2，5π8上是减函数；当x＝π8时，2x＋π4＝π2，∴x＝π8是f(x)的图象的一条对称轴；y＝2sin2x的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y＝2sin2x＋π4，即y＝2sin2x＋π2，因此只有②③正确．4．(2012·重庆高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1fx＋π6的值域．解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f(x)在x＝π6处取得最大值2，所以A＝2.从而sin2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又由－π＜φ≤π得φ＝π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)g(x)＝6c