2015高考数学优化指导选修4-5第1节

选修4-5第一节1．若不等式x＋1x|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．解析：(1,3)∵x＋1x≥2，∴|a－2|＋12，即|a－2|1，解得1a3.2．(2014·潮州模拟)已知不等式|x－2|1的解集与不等式x2＋ax＋b0的解集相同，则a＋b的值为________．解析：－1由|x－2|1，得x1或x3，依题意知x＝1是方程x2＋ax＋b＝0的解，因此a＋b＝－1.3．(2014·西安检测)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.解析：2由|kx－4|≤2得－2≤kx－4≤2所以2≤kx≤6，又不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.4．(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：5|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5.5．(2014·陕西检测)若不等式|x＋1|＋|x－m|6的解集为∅，则实数m的取值范围为________．解析：(－∞，－7]∪[5，＋∞)|x＋1|＋|x－m|≥|m＋1|，又不等式的解集为空集，∴|m＋1|≥6，解得m≤－7或m≥5.∴m的取值范围为(－∞，－7]∪[5，＋∞)．6．(2014·汕头质检)若∃x∈R，使|x－a|＋|x－1|≤4成立，则实数a的取值范围是________．解析：[－3,5]因为|x－a|＋|x－1|≥|x－a－x＋1|＝|1－a|，所以原命题等价于|1－a|≤4，解得a∈[－3,5]．7．若不等式|3x－b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是________．解析：(5,7)∵|3x－b|4，∴b－43xb＋43.由题意得0≤b－4313b＋43≤4，解得5b7，故b的取值范围是(5,7)．8．已知一次函数f(x)＝ax－2.若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：[－1,0]∪(0,5]|f(x)|≤3即为|ax－2|≤3，∴－3≤ax－2≤3，∴－1≤ax≤5，∴ax≤5ax≥－1，∵x∈[0,1]，故当x＝0时，不等式组恒成立；当x∈(0,1]时，不等式组转化为a≤5xa≥－1x，又5x≥5，－1x≤－1，∴－1≤a≤5，又由题意知a≠0.故实数a的取值范围是[－1,0)∪(0,5]．9．(2014·济南模拟)设不等式|2x－1|1的解集为M.若a，b∈M，则ab＋1________a＋b(在横线处填上“”，“”或“＝”)．解析：由|2x－1|1得－12x－11，解得0x1所以M＝{x|0x1}．由a，b∈M可知0a1,0b1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)0，故ab＋1a＋b.10．(2014·佛山质检)若不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是________．解析：5令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上可知f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a≤5即可，从而a的最大值为5.11．(2014·南昌模拟)设f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥|a＋1|－|2a－1||a|对任意实数a≠0恒成立，则x的取值集合是________．解析：{x|x≤－1或x≥2}由f(x)≥|a＋1|－|2a－1||a|对任意实数a≠0恒成立得，f(x)大于等于|a＋1|－|2a－1||a|的最大值，因为|a＋1|－|2a－1||a|的最大值为3，所以f(x)≥3，即|2x－1|≥3，解得x≤－1或x≥2，所以x的取值集合为{x|x≤－1或x≥2}．12．(2014·合肥模拟)已知集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝xx＝4t＋1t－6，t∈0，＋∞，则集合A∩B＝________.解析：{x|－2≤x≤5}不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于x≥4x＋3＋x－4≤9或－3x4x＋3＋4－x≤9或x≤－3－x－3＋4－x≤9，解得－4≤x≤5，即A＝{x|－4≤x≤5}，又由基本不等式得x＝4t＋1t－6≥24t·1t－6＝－2(当且仅当4t＝1t时等号成立．即B＝{x|x≥－2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤5}．13．(2014·龙岩模拟)已知函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x＋4|＋m.(1)已知常数a2，解关于x的不等式f(x)＋a－20；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．解：(1)由f(x)＋a－20，得|x－3|2－a，∴x－32－a或x－3a－2，解得x5－a或xa＋1.故不等式的解集为(－∞，a＋1)∪(5－a，＋∞)．(2)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，∴f(x)g(x)恒成立，即m|x－3|＋|x＋4|恒成立．∵|x－3|＋|x＋4|≥|(x－3)－(x＋4)|＝7，∴m＜7.∴m的取值范围为(－∞，7)．14．(2014·石家庄一中月考)设函数f(x)＝|x－a|＋2x，其中a0.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥2x＋1的解集；(2)若x∈(－2，＋∞)时，恒有f(x)0，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，|x－2|＋2x≥2x＋1，∴|x－2|≥1，∴x≥3或x≤1.∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f(x)＝3x－a，x≥ax＋a，xa，∵a0，∴当x－2时，f(x)≥x＋a－2＋a，要使f(x)0，只需－2＋a≥0即可，∴a≥2.故a的取值范围为[2，＋∞)．15．(2014·中原名校摸底)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若{x|f(x)≥t2－t}∩{y|0≤y≤1}≠∅，求实数t的取值范围．解：(1)不等式f(x)≤2即为|2x＋1|－|x－2|≤2.①当x≤－12时，不等式化为x≤－12－x－3≤2，解得－5≤x≤－12.②当－12＜x＜2时，不等式化为－12＜x＜23x－1≤2，解得－12＜x≤1.③当x≥2时，不等式化为x≥2x＋3≤2，无解．综上原不等式的解集为[－5,1]．(2)由题意得f(x)≥t2－t在x∈[0,1]上有解．故只需满足f(x)max≥t2－t.而当0≤x≤1时，f(x)＝3x－1.∴f(x)max＝f(2)＝2.从而有t2－t≤2.即t2－t－2≤0，解得－1≤t≤2.所以实数t的取值范围为[－1,2]．16．(2014·哈尔滨模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|.(1)解不等式f(x)≤5；(2)若函数g(x)＝fx＋m的定义域为R，求实数m的取值范围．解：(1)原不等式等价于x124－4x≤5，解得－14≤x12；或12≤x≤322≤5，解得12≤x≤32；或x32，4x－4≤5，解得32x≤94.综上原不等式的解集为－14，94.(2)若g(x)＝fx＋m的定义域为R，则f(x)＋m≥0恒成立，即f(x)min≥－m恒成立．又f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－2x＋3|＝2，当且仅当(2x－1)(2x－3)≤0时，即12≤x≤32时，f(x)取得最小值为2，所以m≥－2.从而所求m的取值范围为[－2，＋∞)．17．(2014·吉林检测)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)5的解集为{x|x2或x－3}．(1)求a的值；(2)若不等式f(x)－fx2≤k在R上有解，求k的取值范围．解：(1)由|ax＋1|5得ax4或ax－6.又f(x)5的解集为{x|x2或x－3}，当a0时，解得x4a或x－6a，得a＝2；当a≤0时，经验证不合题意．综上得a＝2.(2)设g(x)＝f(x)－fx2，则g(x)＝－x，x≤－1，－3x－2，－1x－12，x，x≥－12，则函数g(x)的图象如图所示，由图象可知，g(x)≥－12，故原不等式在R上有解时需满足k≥－12.即k的取值范围是－12，＋∞.18．(2013·新课标全国高考Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－30.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当0＜x＜2时，y0.所以原不等式的解集是{x|0x2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈－a2，12都成立．故－a2≥a－2，即a≤43.从而a的取值范围是－1，43.