2015高考数学总复习第1节坐标系素能提升演练理(含解析)新人教版选修4-4

1【优化指导】2015高考数学总复习第1节坐标系素能提升演练理（含解析）新人教版选修4-41．(2014·陕西五校模拟)已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋23sinθ，则圆心C的一个极坐标为________．解析：2，π3极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－23y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝4，圆心为(1，3)，其一个极坐标为2，π3.2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－22sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析：ρcosθ＝3圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝11，故圆心坐标为(3，－2)，因此过圆心与x轴垂直的直线方程为x＝3，其极坐标方程为ρcosθ＝3.3．(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A4，π6到圆心C的距离是________．解析：23圆的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心为C(0,2)，点A坐标即为(23，2)，故所求的距离为|AC|＝32＝23.4．在极坐标系中，已知两圆C1：ρ＝2cosθ和C2：ρ＝2sinθ，则过两圆圆心的直线的极坐标方程是________．解析：ρcosθ＋ρsinθ＝1两圆C1：ρ＝2cosθ和C2：ρ＝2sinθ化为直角坐标方程为C1：(x－1)2＋y2＝1和C2：x2＋(y－1)2＝1，两圆圆心分别为(1,0)，(0,1)，过两圆圆心的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程是ρcosθ＋ρsinθ＝1.5．(2014·韶关模拟)已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离是________．解析：55圆的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，直线的直角坐标方程为y＋2x＝1，即2x＋y－1＝0.所以圆心到直线的距离d＝|2－1|22＋12＝55.6．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，则a＝________.解析：22把曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1化成直角坐标方程得2x＋y＝1；2把曲线C2：ρ＝a(a0)化成直角坐标方程得x2＋y2＝a2.∵C1与C2的一个交点在极轴上∴2x＋y＝1与x轴交点22，0在C2上，所以222＋0＝a2.又a0，∴a＝22.7．(2014·揭阳模拟)已知曲线C1：ρ＝22和曲线C2：ρcosθ＋π4＝2，则C1上到C2的距离等于2的点的个数为________．解析：3将方程ρ＝22与ρcosθ＋π4＝2化为直角坐标方程得x2＋y2＝(22)2与x－y－2＝0，知C1为圆心在坐标原点，半径为22的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3.8．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝8的距离的最大值是________．解析：8把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋3sinθ)＝8化为直角坐标方程为x＋3y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.9．在极坐标系中，定点A2，32π，点B在直线ρcosθ＋3ρsinθ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为________．解析：1，11π6在直角坐标系中，点A坐标为(0，－2)，点B在直线x＋3y＝0上，从而AB的最小值为点A到直线的距离，设过点A且与直线x＋3y＝0垂直的直线方程为3x－y＋c＝0，得c＝－2，由方程组x＋3y＝0，3x－y－2＝0，得x＝32，y＝－12.即点B坐标为32，－12，再转化为极坐标为1，11π6.10．(2014·广州毕业班测试)在极坐标系中，已知点A1，π2，点P是曲线ρsin2θ＝4cosθ上任一点，设点P到直线ρcosθ＋1＝0的距离为d，则|PA|＋d的最小值为________．解析：2曲线ρsin2θ＝4cosθ的化为直角坐标方程是y2＝4x，直线化为直角坐3标方程是x＝－1.设抛物线的焦点为F，则点F(1,0)．由抛物线的定义可知d＝|PF|，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|.故当点P是直线AF与抛物线y2＝4x的交点时，|PA|＋d取得最小值．且(|PA|＋d)min＝|AF|＝－2＋－2＝2.11．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：(－∞，0)∪(10，＋∞)注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋－＋m|51，|m－5|5，解得m0或m10.故m的范围为(－∞，0)∪(10，＋∞)．12．(2014·湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcosθ＝0，点P的极坐标为2，π2，过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析：43圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcosθ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为|－k＋2|k2＋1＝1，∴k＝34，即tanα＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43.13.(2013·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsinθ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，4所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径PC＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.14．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π2≤θ≤π2，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点12，0，半径为12的圆．15．(2014·南京调研)在极坐标系中，求圆ρ＝4sinθ上的点到直线ρcosθ＋π4＝32的距离的最大值．解：在圆的极坐标方程两边同时乘以ρ得ρ2＝4ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，故圆的圆心坐标为(0,2)，半径为2.将直线的极坐标方程ρcosθ＋π4＝32化为直角坐标方程为x－y－6＝0，所以圆的圆心到直线的距离为d＝|0－2－4|12＋－2＝32＞2，故直线与圆相离，于是圆ρ＝4sinθ上的点到直线ρcosθ＋π4＝32的距离的最大值为32＋2.16．(2014·昆明模拟)已知曲线C的参数方程为x＝3＋5cosθy＝5sinθ，(θ是参数)，P是曲线C与y轴正半轴的交点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P与曲线C只有一个公共点的直线l的极坐标方程．解：把曲线C的参数方程x＝3＋5cosθy＝5sinθ，(θ是参数)化为普通方程得(x－3)2＋y2＝25，5∴曲线C是圆心为P1(3,0)，半径等于5的圆．∵P是曲线C与y轴正半轴的交点，∴P(0,4)．根据已知得直线l是圆C经过点P的切线．∵kPP1＝－43，∴直线l的斜率k＝34.∴直线l的方程为3x－4y＋16＝0.∴直线l的极坐标方程为3ρcosθ－4ρsinθ＋16＝0.17．在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为2，π3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)P是圆C上一动点，点Q满足3OP→＝OQ→，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．解：(1)设M(ρ，θ)是圆C上任一点，过点C作CH⊥OM于H点，则在Rt△COH中，OH＝OC·cos∠COH.∵∠COH＝∠COM＝θ－π3，OH＝12OM＝12ρ，OC＝2，∴12ρ＝2cosθ－π3，即所求的圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ－π3.(2)设点Q的极坐标为(ρ，θ)，∵3OP→＝OQ→，∴P的极坐标为13ρ，θ，代入圆C的极坐标方程得13ρ＝4cosθ－π3，即ρ＝6cosθ＋63sinθ，∴ρ2＝6ρcosθ＋63ρsinθ，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2＋y2＝6x＋63y，∴点Q的轨迹的直角坐标方程为x2＋y2－6x－63y＝0.18．(2014·太原模拟)平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)在曲线C1：x＝acosφy＝sinφ，(a0，φ为参数)上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝acosθ.(1)求曲线C2的普通方程；6(2)已知点M，N的极坐标分别为(ρ1，θ)，ρ2，θ＋π2，若点M，N都在曲线C1上，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)由点A(2,0)在曲线C1上得2＝acosφ，0＝sinφ∵a0，∴a＝2，∴ρ＝2cosθ，由x＝ρcosθy＝ρsinθ，得(x－1)2＋y2＝1，∴曲线C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)由(1)得曲线C1：x＝2cosφ，y＝sinφ，消去参数φ得x24＋y2＝1.由题意得点M，N的直角坐标分别为(ρ1cosθ，ρ1sinθ)，ρ2cosθ＋π2，ρ2sinθ＋π2.∵点M，N在曲线C1上，∴ρ21cos2θ4＋ρ21sin2θ＝1，ρ22sin2θ4＋ρ22cos2θ＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝cos2θ4＋sin2θ＋sin2θ4＋cos2θ＝54.