2015高考数学总复习第7章第7节数学归纳法课时跟踪检测理(含解析)新人教版

1【优化指导】2015高考数学总复习第7章第7节数学归纳法课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：选C令n0分别取2,3,5,6，依次验证可得n0＝5.故选C.2．对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋2＋k＋＝k2＋3k＋2k2＋3k＋＋k＋＝k＋2＝(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，所以不是数学归纳法．故选D.3．(2014·汕头一中月考)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时左边应添加的项为()A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋4＋k＋22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析：选D∵当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，∴比较上述两个式子，当n＝k＋1时，等式左边是在假设n＝k时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.24．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析：选C方法一由n＝k(k∈N*)时命题成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．故选C.方法二其逆否命题为“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故由“n＝5时不成立”可得“n＝4时不成立”．故选C.5．在用数学归纳法证明f(n)＝1n＋1n＋1＋…＋12n1(n∈N*，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式f(k)1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)1也成立．若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)＝()A.12k＋1＋12k＋2B.12k＋1＋12k＋2－1kC.12k＋2－1kD.12k＋2－12k解析：选B∵f(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，f(k)＝1k＋1k＋1＋…＋12k，∴f(k＋1)－f(k)＝－1k＋12k＋1＋12k＋2，∴g(k)＝12k＋1＋12k＋2－1k.故选B.6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：选D总项数为n2－n＋1，f(2)＝12＋13＋14.故选D.7．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步应验证________________________________________________________________________．3答案：当n＝1时，左边＝4≥右边，故不等式成立8．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.9．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.解析：nn＋1由(S1－1)2＝S21得：S1＝12；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝23；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝34.猜想Sn＝nn＋1.10．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝nn2＋3，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应添加的项为________．解析：(k＋1)2＋k2当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12.故应添加的项为(k＋1)2＋k2.11．观察下列各式112，1＋12＋131，1＋12＋13＋14＋15＋16＋1732，1＋12＋13＋…＋1152，1＋12＋13＋…＋13152，……照此规律，写出第n个式子，并加以证明．解：猜想第n个不等式为1＋12＋13＋…＋12n－1n2(n∈N*)．①当n＝1时，112，猜想正确．②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想正确，4即1＋12＋13＋…＋12k－1k2，当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k2＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1k2＋12k＋1＋12k＋1＋…＋12k＋1＝k2＋2k2k＋1＝k2＋12＝k＋12.所以当n＝k＋1时，猜想成立．由①②知对于任意n∈N*不等式恒成立．12．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1an≤2n－1对一切n∈N*恒成立．(1)解：∵a2n＋1－a2n＝2，∴数列{a2n}为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又an0，则an＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．当n＝2时，左边右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋12k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k－1＋2k＋1－2k－12＝2k＋1＝k＋－1.所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．51．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1314(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项1k＋B．增加了两项12k＋1、12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1k＋1D．以上各种情况均不对解析：选C当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，比较两式可得增加了两项12k＋1、12k＋2，少了一项1k＋1.故选C.2．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….猜想数列{Sn}的通项公式为________．解析：nn＋1由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S2n－2Sn＋1－anSn＝0.①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.②由①可得S1＝a1＝12，由②可得S2＝23，S3＝34.由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….3．用数学归纳法证明1＋131＋151＋17…1＋12k－12k＋12(k1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________．解析：1＋12k＋11＋12k＋3…1＋12k＋1－12k－1因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋12k＋1)，最后一个是(1＋12k＋1－1)，根据等差数列通项公式可求得共有k＋1－－k＋2＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．64．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋1an(n＝1,2，…)．(1)求证：an2n＋1对一切正整数n都成立；(2)令bn＝ann，判断bn与bn＋1的大小，并说明理由．(1)证明：证法一：①当n＝1时，a1＝22×1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时不等式成立，即ak2k＋1.当n＝k＋1时，a2k＋1＝a2k＋1a2k＋22k＋3＋1a2k2(k＋1)＋1，因为a1＝2，an＋1＝an＋1an(n＝1,2，…)，所以an0(n∈N*)．所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知an2n＋1对一切正整数n都成立．证法二：①当n＝1时，a1＝23＝2×1＋1，结论成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即ak2k＋1.当n＝k＋1时，由函数f(x)＝x＋1x(x1)的单调递增性和归纳假设，知ak＋1＝ak＋1ak2k＋1＋12k＋1＝2k＋1＋12k＋1＝2k＋22k＋1＝4k2＋8k＋42k＋1k＋k＋2k＋1＝2k＋3＝k＋＋1.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②知an2n＋1对一切正整数n均成立．(2)解：因为bn＝ann，可知bn0，所以bn＋1bn＝an＋1n＋1ann＝1＋1a2n·nn＋11＋12n＋1·nn＋1＝n＋nn＋n＋1＝2nn＋2n＋1＝n＋122－14n＋121.∴bn＋1bn.