2015高考数学总复习第8章第6节空间直角坐标系空间向量及其运算课时跟踪检测理(含解析)

1【优化指导】2015高考数学总复习第8章第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．给出下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B①、③为真命题，故选B.2．如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有面都是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c解析：选ABM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12BD→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝－12AB→＋12AD→＋AA1→＝－12a＋12b＋c，故选A.3．如图所示，已知空间四边形O2ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为()A．0B.12C.32D.22解析：选A设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|，因为OA→·BC→＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝12|a||c|－12|a||b|＝0，所以cos〈OA→，BC→〉＝0.故选A.4．(2014·长春模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选A如图，①中，(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→成立；②中，BC→＋BB1→－D1C1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→，成立；③中，(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→＝(BD→－BB1→)－DD1→＝B1D→－DD1→，不成立；④中，(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝BD→＋A1A→＋DD1→＝BD1→＋A1A→＝BD1→＋D1D→＝BD→，不成立，故①②成立，选A.5．(2014·石家庄质检)已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为原点)，则当QA→·QB→取最小值时，点Q的坐标为()A.43，43，43B.83，43，83C.83，83，43D.43，43，83解析：选D由题意可知OQ→＝λOP→，故可设Q(λ，λ，2λ)，∴QA→·QB→＝6λ2－16λ＋310＝6λ－432－23，∴λ＝43时，QA→·QB→取最小值，此时Q的坐标为43，43，83.6．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为()A.216aB.66aC.156aD.153a解析：选A以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.设M(x，y，z)．∵点M在AC1上且AM→＝12MC1→，∴(x－a，y，z)＝12(－x，a－y，a－z)∴x＝23a，y＝a3，z＝a3.∴M2a3，a3，a3.∴|MN→|＝a－23a2＋a－a32＋a2－a32＝216a.故选A.7.在四面体O­ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)．4解析：12a＋14b＋14cOE→＝OA→＋AE→＝OA→＋12AD→＝OA→＋12×12(AB→＋AC→)＝OA→＋14AB→＋14AC→＝OA→＋14(OB→－OA→)＋14(OC→－OA→)＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP→＝2PB→，则|PD→|的值是________．解析：773设P(x，y，z)，则AP→＝(x－1，y－2，z－1)，PB→＝(－1－x,3－y,4－z)，由AP→＝2PB→得点P坐标为－13，83，3，又D(1,1,1)，∴|PD→|＝773.9．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为89，则λ＝________.解析：－2或255由条件知|a|＝λ2＋5，|b|＝3，a·b＝6－λ.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝6－λ3λ2＋5＝89.整理得55λ2＋108λ－4＝0解得λ＝－2或λ＝255.10．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：2由题意知AB→＝(6，－2，－3)，AC→＝(x－4,3，－6)，BC→＝(x－10,5，－3)．故|AB→|＝7，|AC→|＝x－2＋45，|BC→|＝x－2＋34.由|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2得72＋(x－4)2＋45＝(x－10)2＋34，解得x＝2.11．求证：向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．证明：若e1、e2、e3共面，显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，设c＝λa＋μb，即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋μ(4e1－6e2＋2e3)，5整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3，又e1、e2、e3不共面，所以4μ－λ＝－3，3λ－6μ＝12，2λ＋2μ＝11，解得λ＝5，μ＝12，所以c＝5a＋12b，故向量a，b，c共面.12．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．解：(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝－2＋02＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－110＝－1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.(2)∵ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ→＝λMN→的实数λ的值有()A．0个B．1个6C．2个D．3个解析：选C建立如图所示空间直角的坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，设P(x，y,2)，则OP的中点坐标为x＋12，y＋12，1，又知D1(0,0,2)，所以Q(x＋1，y＋1,0)，在平面xOy中直线MN的方程为x＋y＝3.由MQ→＝λMN→知点Q在MN上．∴xQ＋yQ＝3.所以(x＋1)＋(y＋1)－3＝0整理得x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，故对应的λ有2个．因此选C.2．(2014·哈尔滨模拟)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A.65B.652C．4D．8解析：选A|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝49，故sin〈a，b〉＝1－492＝659，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×659＝65.故选A.3．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为______．解析：355由条件知b－a＝(－t－1,1－2t,0)所以|b－a|＝－t－2＋－2t2＝5t2－2t＋2＝5t－152＋95，故当t＝15时，|b－a|有最小值355.74.直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．(1)证明：设CA→＝a，CB→＝b，CC′→＝c，根据题意知|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a.∴CE→·A′D→＝－12c2＋12b2＝0.∴CE→⊥A′D→，所以CE⊥A′D.(2)解：AC′→＝－a＋c，∴|AC′→|＝2|a|，|CE→|＝52|a|.AC′→·CE→＝(－a＋c)·b＋12c＝12c2＝12|a|2，∴cos〈AC′→，CE→〉＝12|a|22×52|a|2＝1010.所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.