2015高考理科数学《数列的综合应用》练习题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2015高考理科数学《数列的综合应用》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b8＋a9＝()A．24B．32C．48D．64解析：依题意有，an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，又a1＝1，故a2＝2，a3＝2，a4＝22，a5＝22，a6＝23，a7＝23，a8＝24，a9＝24，故b8＋a9＝(a8＋a9)＋a9＝a8＋2a9＝3×24＝48.答案：C2．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}是各项为正数的等比数列，其公比q≠1，若a4＝b4，a12＝b12，则()A．a8＝b8B．a8b8C．a8b8D．a8b8或a8b8解析：∵{bn}为等比数列，其公比q≠1，∴b4≠b12，∴a4≠a12，∴a8＝a4＋a122a4a12＝b4b12＝b8.答案：B3．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a2n(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝()A．－1或2B．0或2C．2D．1解析：由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2n，解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)，又bn＋1bn－1＝b2n＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.答案：C4．(2013年高考辽宁卷)下面是关于公差d0的等差数列{an}的四个命题：P1：数列{an}是递增数列；P2：数列{nan}是递增数列；P3：数列{ann}是递增数列；-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----P4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但ann＝1＋1n是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案：D5．(2014年保定调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b＝3，则a＋c的最大值为()A.32B．3C．23D．9解析：∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB＝acosC＋ccosA，∴cosB＝12，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3·a＋c22＝a＋c24，即3≥a＋c24，当且仅当a＝c时，等号成立，∴a＋c≤23.答案：C6．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根组成首项为14的等差数列，则a＋b的值是()A.38B.1124C.1324D.3172解析：设两个方程的根分别为x1、x4和x2、x3.因为x1＋x4＝x2＋x3＝1，所以x1＝14，x4＝34，从而x2＝512，x3＝712.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----则a＝x1x4＝316，b＝x2x3＝35144，或a＝35144，b＝316，∴a＋b＝316＋35144＝3172.答案：D二、填空题7．(2013年高考重庆卷)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.解析：因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.答案：648．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布．(不作近似计算)解析：由题意知，a1＝5，n＝30，Sn＝390＝30×5＋30×292d⇒d＝1629.答案：16299．(2014年合肥模拟)已知数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝________.解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，an＋1an＋2an＋3·an＋4＝24，得an＋4＝an，所以数列{an}是周期为4的数列，再令n＝1，求得a4＝4，每四个一组可得(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2009＋a2010＋a2011＋a2012)＋a2013＝10×503＋1＝5031.答案：5031三、解答题10．(2014年大同模拟)已知公比为q的等比数列{an}的前6项和S6＝21，且4a1，32a2，a2成等差数列．(1)求an；(2)设{bn}是首项为2，公差为－a1的等差数列，其前n项和为Tn，求不等式Tn－bn0的解集．解析：(1)∵4a1，32a2，a2成等差数列，∴4a1＋a2＝3a2，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----即4a1＝2a2，∴q＝2.则S6＝a1－261－2＝21，解得a1＝13，∴an＝2n－13.(2)由(1)得－a1＝－13，∴bn＝2＋(n－1)－13＝7－n3，Tn＝2n＋n2(n－1)·－13＝13n－n26，∴Tn－bn0，即－n－n－60，解得1n14(n∈N*)，故不等式Tn－bn0的解集为{n∈N*|1n14}．11．已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋150成立的正整数n的最小值．解析：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，∴a2＋a4＝20，∴a1q＋a1q3＝20a1q2＝8，解得q＝2a1＝2或q＝12a1＝32.又数列{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2，∴an＝2n.(2)由题意知bn＝2n·log122n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②∴①－②得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－2n1－2－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2，∵Sn＋n·2n＋150，∴2n＋1－250，∴2n＋152，又当n≤4时，2n＋1≤25＝3252，当n≥5时，2n＋1≥26＝6452.故使Sn＋n·2n＋150成立的正整数n的最小值为5.12．(能力提升)(2013年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an74.解析：(1)依题意，2S1＝a2－13－1－23，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n，2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)，两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－13(3n2－3n＋1)－(2n－1)－23，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即an＋1n＋1－ann＝1，又a22－a11＝1，故数列ann是首项为1，公差为1的等差数列，所以ann＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.(3)证明：当n＝1时，1a1＝174；当n＝2时，1a1＋1a2＝1＋14＝5474；当n≥3时，1an＝1n21n－n＝1n－1－1n，此时1a1＋1a2＋…＋1an＝1＋122＋132＋142＋…＋1n21＋14＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋14＋12－1n＝74－1n74.综上，对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an74.[B组因材施教·备选练习]1．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则q的值为()-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----A.1－52B.5－12C.5＋12D.5＋12或5－12解析：∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a1＋a2，∴q2＝1＋q，∴q＝5＋12或q＝－5＋12，等比数列{an}的各项都是正数，∴q＝－5＋12不满足题意，舍去，∴q＝5＋12.答案：C2．(2014年成都模拟)已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝π2.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2x2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0B．－9C．9D．1解析：由数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a5＝π2，数列{yn}的前9项和就能计算得到一个定值，又因为f(x)＝sin2x＋1＋cosx，则可令数列{an}的公差为0，则数列{yn}的前9项和为S9＝(sin2a1＋sin2a2＋…＋sin2a9)＋(cosa1＋cosa2＋…＋cosa9)＋9＝9sin2a5＋9cosa5＋9＝9sin2×π2＋9cosπ2＋9＝9.答案：C3．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数f(x)＝12x2＋12x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列1anan＋2的前n项和为Tn，不等式Tn13loga(1－a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)∵点(n，Sn)在函数f(x)＝12x2＋12x的图象上，∴Sn＝12n2＋12n，①-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----当n≥2时，Sn－1＝12(n－1)2＋12(n－1)，②①－②得an＝n.当n＝1时，a1＝S1＝12＋12＝1，符合上式，∴an＝n.(2)由(1)得1anan＋2＝1nn＋＝121n－1n＋2，∴Tn＝1a1a3＋1a2a4＋1a3a5＋…＋1anan＋2＝121－13＋1212－14＋1213－15＋…＋121n－1－1n＋1＋121n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－121n＋1＋1n＋2.∵Tn＋1－Tn＝1n＋n＋0，∴数列{Tn}单调递增．∴(Tn)min＝T1＝13.要使不等式Tn13loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要1313loga(1－a)即可．∵1－a0，∴0a1，∴1－aa，即0a12，∴实数a的取值范围是0，12.======*以上是由明师教育编辑整理======