2015高考数学(江苏专用,文科)专题3第10讲

第10讲关于计算过程的再优化[方法精要]中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、概率、统计的初步计算等．《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理．计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提．高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查．因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要．提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：1．培养良好的审题习惯．2．培养认真计算的习惯．3．培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，三角函数中的辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)等等．4．加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练．5．提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论．6．增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的．题型一化繁为简，优化计算过程例1过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．破题切入点本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x＝my＋2，表示出△AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率．答案－33解析由y＝1－x2得，x2＋y2＝1(y≥0)，设直线方程为x＝my＋2，m0(m≥0不合题意)代入x2＋y2＝1(y≥0)，整理得，(1＋m2)y2＋22my＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－22m1＋m2，y1y2＝11＋m2，则△AOB的面积为12×2|y1－y2|＝22|y1－y2|，因为|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝－22m1＋m22－41＋m2＝2m2－11＋m2＝2m2－12＋m2－1＝22m2－1＋m2－1≤222m2－1×m2－1＝22，当且仅当2m2－1＝m2－1，即m2－1＝2，m＝－3时取等号．此时直线方程为x＝－3y＋2，即y＝－33x＋63，所以直线的斜率为－33.题型二运用概念、性质等优化计算过程例2如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．破题切入点由抛物线的定义解题．答案y2＝3x解析如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，AF＝AA1，BF＝BB1，∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°.连结A1F，则△A1AF为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则NF＝A1F1＝12AA1＝12AF，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.题型三代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例3设b0，数列{an}满足a1＝b，an＝nban－1an－1＋2n－2(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an≤bn＋12n＋1＋1.破题切入点结合题目中an的表达式可知，需要构造an新的形式nan＝1b＋2b·n－1an－1，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成．(1)解由a1＝b0，知an＝nban－1an－1＋2n－20，nan＝1b＋2b·n－1an－1.令An＝nan，A1＝1b，当n≥2时，An＝1b＋2bAn－1＝1b＋2b2＋…＋2n－2bn－1＋2n－1bn－1A1＝1b＋2b2＋…＋2n－2bn－1＋2n－1bn.①当b≠2时，An＝1b1－2bn1－2b＝bn－2nbnb－2，②当b＝2时，An＝n2.综上，an＝nbnb－2bn－2n，b≠2，2，b＝2.(2)证明当b≠2时，(2n＋1＋bn＋1)bn－2nb－2＝(2n＋1＋bn＋1)(bn－1＋2bn－2＋…＋2n－1)＝2n＋1bn－1＋2n＋2bn－2＋…＋22n＋b2n＋2b2n－1＋…＋2n－1bn＋1＝2nbn(2b＋22b2＋…＋2nbn＋bn2n＋bn－12n－1＋…＋b2)2nbn(2＋2＋…＋2)，＝2n·2nbn＝n·2n＋1bn，∴an＝nbnb－2bn－2nbn＋12n＋1＋1.当b＝2时，an＝2＝bn＋12n＋1＋1.综上所述an≤bn＋12n＋1＋1.总结提高数学学习最重要的是创造能力，而解题则是培养学生创造能力的最好手段．通过解题，可以提高运算求解能力，锻炼应付各种复杂情况的机智，以及掌握克服各种困难所需要的若干常规方法和技巧．因此平时练习中应注重学生运算求解能力的训练，运算求解能力提高了，解题水平就可以提高．1．已知函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域是一切实数，则m的取值范围是________．答案0≤m≤4解析根据题意mx2＋mx＋1≥0(x∈R)恒成立，当m＝0时，满足不等式；当m≠0时，须满足m0，Δ＝m2－4m≤0，解得0m≤4，综上0≤m≤4.2．已知函数f(x－1x)＝x2＋1x2，则f(3)的值为________．答案11解析∵f(x－1x)＝(x－1x)2＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.3．定义运算：(aD○＋b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(aD○＋b)⊗x0的解集为{x|1x2}，则关于x的不等式(bD○＋a)⊗x0的解集为________．答案－∞，－23∪(1，＋∞)解析1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，1＋2＝－ba，1×2＝2a，解得a＝1，b＝－3，由(－3D○＋1)⊗x＝－3x2＋x＋20，得3x2－x－20，解得x－23或x1.4.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a30，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值与0的大小关系为________．答案f(a1)＋f(a3)＋f(a5)0解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)是R上的增函数，所以当x0，时有f(x)f(0)＝0，当x0时有f(x)f(0)＝0，因为a30，所以有f(a3)0.因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a52＝a30⇒a1＋a50⇒a1－a5⇒f(a1)f(－a5)．又f(－a5)＝－f(a5)，所以f(a1)＋f(a5)0，即有f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＝[f(a1)＋f(a5)]＋f(a3)0.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，则b＝________.答案4解析在△ABC中，sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a·a2＋b2－c22ab＝3·b2＋c2－a22bc·c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，则4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍)．6．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，若P(2,2)为AB的中点，则直线AB的方程为________．答案x－y＝0解析∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴y21＝4x1，y22＝4x2，∴y22－y21＝4x2－4x1，即y2－y1x2－x1＝4y2＋y1.因为P(2,2)为AB的中点，所以y2＋y1＝4，所以直线AB的斜率k＝y2－y1x2－x1＝44＝1，所以直线AB的方程为x－y＝0.7．抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．答案[－2，12]解析易知切线方程为：y＝2x－1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A(0,0)，B(12，0)，C(0，－1)．易知过C点时有最小值－2，过B点时有最大值12.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已有A＝π4，bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．(1)证明由bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(π4＋C)－sinCsin(π4＋B)＝sinA，sinB(22sinC＋22cosC)－sinC(22sinB＋22cosB)＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0B，C34π，从而B－C＝π2.(2)解B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.9．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)f(0)对所有的θ∈0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解∵f(x)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.由题设条件可得，f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos2θ－3)f(2mcosθ－4m)．∵f(x)在R上为增函数，∴cos2θ－32mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ＋2m－20.令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1.于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－mt＋2m－20恒成立．∴t2－2m(t－2)，即mt2－2t－2恒成立．又∵t2－2t－2＝(t－2)＋2t－2＋4≤4－22，∴m4－22，∴存在实数m满足题设的条件，即m4－22.10.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且OP→·OQ→＝0，求1|OP|2＋1|OQ|2的值．解(1)因为e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，∵双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2，∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a2，∴a2＝4，所以所求双曲线方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立x24－y212＝1得x2＝123－k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝12k2＋13－k2.∵OP→·OQ→＝0，∴直线OQ的方程为y＝－1kx，同理可得|OQ|2＝121k2＋13－1k2＝12k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋3k2－112k2＋1＝2＋2k212k2＋1＝16.11．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3