2015高考数学总复习第9章第6节双曲线课时跟踪检测理(含解析)新人教版

1【优化指导】2015高考数学总复习第9章第6节双曲线课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．(2013·北京高考)双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()A．m12B．m≥1C．m1D．m2解析：选C该双曲线离心率e＝1＋m1，由已知1＋m＞2，故m＞1，故选C.2．(2014·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线x216－y29＝1上，则sinB|sinA－sinC|为()A.32B.23C.54D.45解析：选C设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得sinB|sinA－sinC|＝b|a－c|，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b＝10，|c－a|＝8.所以sinB|sinA－sinC|＝b|a－c|＝54.故选C.3．(2014·杭州质检)设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cos∠PF2F1等于()A.35B.34C.45D.56解析：选C据题意可知PF1⊥PF2，设|PF1|＝n，|PF2|＝m，又由双曲线定义知m－n＝2a①；由勾股定理可得m2＋n2＝4c2②；又由离心率e＝ca＝5③，由①②③解得m＝8a，故cos∠PF2F1＝|PF2||F1F2|＝m2c＝8a2×5a＝45.故选C.4．(2011·山东高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()2A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1解析：选A由题意得x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，所以a2＋b2＝32＝9，且|3b|a2＋b2＝2，解得a2＝5，b2＝4.所以该双曲线的方程为x25－y24＝1.故选A.5．(2014·皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使PF1→·PF2→＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．5解析：选D设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且mn，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的性质和勾股定理得m－n＝2a，①m2＋n2＝4c2，②2m＝n＋2c，③由①③得m＝2c－2a，n＝2c－4a，代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，两边同时除以a2，得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.又e＞1，所以e＝5.故选D.6．(2014·太原模拟)设F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0解析：选C设线段PF1的中点为M，由于|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝c2－a2＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a.所以2b－a＝c，所以(2b－a)2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，所以3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝43x，即4x±3y＝0.选C.7．(2014·苏锡常镇调研)若双曲线x2－y2a＝1(a＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等3于3，则此双曲线方程为______．解析：x2－y23＝1双曲线x2－y2a＝1(a＞0)的一个焦点(1＋a，0)到一条渐近线ax－y＝0的距离为a＋aa＋1＝3，解得a＝3，故此双曲线方程为x2－y23＝1.8．(2014·陕西五校模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是______．解析：(5，＋∞)双曲线的渐近线方程为y＝±bax.若双曲线x2a2－y2b2＝1与直线y＝2x有交点，则ba＞2，从而b2a2＞4.所以c2－a2a2＞4，解得e2＝c2a2＞5，故e＞5.9．(2014·茂名质检)设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：3215由条件知c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝43(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－6430，所以S＝12×(5－3)×6430＝3215.10．(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．解析：3不妨设|PF1|＞|PF2|，由|PF1|＋|PF2|＝6a，|PF1|－|PF2|＝2a得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.由2a＜2c，得∠PF1F2＝30°，由余弦定理得cos30°＝c2＋a2－a22×2c×4a，整理得c2＋3a2－23ac＝0，所以e2－23e＋3＝0，解得e＝3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．4(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：由e＝2知a＝b.故设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，解得λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，∴kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1→·MF2→＝0.(3)解：在△F1MF2中|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3.所以△F1MF2的高h＝|m|＝3，从而S△F1MF2＝12×43×3＝6.12．(2014·泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－y22＝1于A，B两点，且ON→＝12(OA→＋OB→)．(1)求直线AB的方程；(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且CD→·AB→＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解：(1)由题意知直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，由y＝kx－＋2x2－y22＝1消去y整理得5(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，所以2－k2≠0且x1＋x2＝2k－k2－k2.∵ON→＝12(OA→＋OB→)，∴N是AB的中点，∴x1＋x22＝1，∴k(2－k)＝－k2＋2，解得k＝1，所以AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，设A(－1,0)，B(3,4)．∵CD→·AB→＝0，∴CD垂直平分AB.∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点为M(x0，y0)，则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝x3＋x42＝－3，∴y0＝6，故点M(－3,6)．∵|CD|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2x3＋x42－4x3x4＝410，∴|MC|＝|MD|＝12|CD|＝210，又|MA|＝|MB|＝210，∴A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆.1．(2014·辽宁五校联考)已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，P点的轨迹方程为()A．x2－y28＝1(x＞1)B．x2－y210＝1(x＞0)C．x2－y28＝1(x＞0)D．x2－y210＝1(x＞1)解析：选A如图设过点P的两切线分别与圆切于S、T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能6与x轴相交，a＝1，c＝3，所以b2＝8，故P点的轨迹方程为x2－y28＝1(x＞1)．故选A.2．(2014·邯郸摸底考试)已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点为M，且有|MF1|＝c，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C．22D．2解析：选D因为F2关于渐近线的对称点为M，又由双曲线的几何性质知焦点到渐近线的距离为b，所以|MF2|＝2b，又|F1M|＝c，|F1F2|＝2c，由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，c＝2a，e＝2.故选D.3．(2014·重庆质检)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为233，且2a2＝3c.若双曲线C上的点P满足PF1→·PF2→＝1，则|PF1→|·|PF2→|的值为()A．5B．4C．3D．2解析：选C由题意得ca＝2332a2＝3c，解得a＝3c＝2，所以b2＝c2－a2＝1，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.设|PF1→|＝r1，|PF2→|＝r2，不妨令r1＞r2＞0，∠F1PF2＝θ，∵PF1→·PF2→＝1，∴r1r2cosθ＝1，又r1－r2＝23，∴r21＋r22－2r1r2＝12，∴r21＋r22＝2r1r2＋12，又由余弦定理得4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ，即16＝2r1r2＋12－2，∴r1r2＝3，即|PF1→|·|PF2→|＝3.故选C.4．(2013·大纲全国高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.(1)求a、b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．7(1)解：由题设知ca＝3，所以a2＋b2a2＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x＝±a2＋12.由题设知2a2＋12＝6，解得a2＝1.所以a＝1，b＝22.(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜22，由y＝kx－8x2－y2＝8消去y整理得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，且x1＋x2＝6k2k2－8，x1·x2＝9k2＋8k2－8.所以|AF1|＝x1＋2＋y21＝x1＋2＋8x21－8＝－(3x1＋1)，|BF1|＝x2＋2＋y22＝x2＋2＋8x22－8＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1，所以x1＋x2＝－23，故6k2k2－8＝－23，解得k2＝45，从而x1·x2＝－199.由于|AF2|＝x1－2＋y21＝x1－2＋8x21－8＝1－3x1，|BF2|＝x2－2＋y22＝x2－2＋8x22－8＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2