32复数的运算

第3章复数及其应用（教案）【课题】3.2复数的运算（一）【教学目标】知识目标：会进行复数代数形式、三角形式的运算.能力目标：通过对复数相关计算的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数代数形式的加、减运算.（2）复数三角形式的乘、除、乘方运算．【教学难点】三角形式的乘法、除法、乘方运算．【教学设计】在讲解复数代数形式的运算时，可以首先指出，当数的概念扩充以后，需要把数的运算也进行扩充．例1是两个代数形式的复数进行加、减运算的知识巩固性题目，例2比例1稍微复杂一些，是三个代数形式的复数进行加、减的混合运算．例3（1）是两个代数形式的复数进行乘法运算的知识巩固性题目，例3（2）是代数形式的复数进行乘方运算．例４是求复数与其共轭复数的乘积，结果是该复数实部与虚部的平方和.这个结论非常重要，使用它可以把虚数转化为实数，在复数的除法中就要用到这个结论．复数代数形式的除法运算，类似于初中代数根式运算中的分母有理化．例5、例6都是两个代数形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目，但略有不同，例5中的两个复数直接写为商的形式，而例6的两个复数未直接写为商的形式，需转化为商的形式，再进行“分母实数化”．在讲解复数的三角形式的乘、除、乘方运算时，要说明复数必须是三角形式，才可以使用复数的三角形式的乘、除、乘方运算法则，而如果不是三角形式的复数要先化为三角形式．复数的乘法、乘方、除法用三角形式来做运算，不但结果简单易记，而且重要的是它明确了复数乘法（除法）的几何意义．利用复数的三角形式进行以上运算时，一般要求把计算结果写成代数形式．例7是两个三角形式的复数进行复数乘法运算的知识巩固性题目．例8（1）是三角形式的复数直接使用乘方公式进行运算的知识巩固性题目，而例8（2）是求代数形式的复数的7次方，为了计算简便，应该首先将该复数化为三角形式，然后再利用复数三角形式的乘方公式进行运算，否则计算量比较大．例9是两个三角形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目，直接按照公式进行计算即可．第3章复数及其应用（教案）【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3.2复数的运算介绍了解0*动脑思考探索新知复数代数形式的运算1.复数代数形式的加法和减法复数的加法和减法，可以按照多项式的加法和减法运算法则进行运算．将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．即(i)(i)()()iabcdacbd（3．5）(i)(i)()()iabcdacbd（3．6）可以证明（证明略），复数的加法运算满足交换律与结合律．即对任意的复数123zzz、、，有(1)交换律1221zzzz；(2)结合律123123()()zzzzzz．由于复数可以用向量表示，故复数的加减运算相当于向量的加减运算．设复数1i(,)zababR和复数2i(,)zcdcdR在复平面内对应的向量分别为1OZ和2OZ，则12()()OZabOZcd，，，，则12()OZOZacbd，，12()OZOZacbd，．详细分析讲解总结归纳详细分析讲解思考理解记忆理解记忆带领学生总结10*巩固知识典型例题第3章复数及其应用（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间例1计算：（1）（4+3i）＋（7+9i）；（2）(8+3i)－(1－2i).解（1）（4+3i）＋（7+9i）(47)(39)i1112i；（2）(8+3i)－(1－2i)(81)[3(2)]i75i.例2计算（3－2i）+(2+3i)—(4－2i).解（3－2i）+(2+3i)－(4－2i)＝(3+2－4)+[－2+3－(－2)]i＝1+3i.引领讲解说明引领讲解说明观察思考主动求解观察主动求解通过例题进一步领会观察学生是否理解知识点15*动脑思考探索新知2．复数代数形式的乘法和除法两个复数相乘可以按照多项式相乘的法则来进行，在所得的结果中，把2i换成－1，并把实部与虚部分别合并．设12i(,)i(,)zababzcdcdRR，，则12(i)(i)zzabcd2iiiacadbcbd()()iacbdadbc，即(i)(i)abcd()()iacbdadbc（3．7）显然，两个复数的积仍然是复数．可以证明（证明略）复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即对任意复数123zzz、、，有(1)交换律1221zzzz；(2)结合律123123()()zzzzzz；详细分析讲解总结归纳详细分析思考理解记忆理解记忆带领学生总结第3章复数及其应用（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间（3）分配律1231213()zzzzzzz．规定()nnzzzznN个．在实数范围内成立的乘法公式在复数范围内仍然成立．与实数相类似，除法运算可以看成乘法运算的逆运算．设123ii0izabzcdzxy，，，把满足231zzz即(i)(i)(i)cdxyab的复数3z叫做复数1z除以复数2z的商，记作312zzz或132zzz．利用复数的代数形式，求12zz的基本方法是，将分式的分子和分母同乘以分母的共轭复数2z，使分母变为实数．即222222i(i)(i)()()i()()ii(i)(i)ababcdacbdbcadacbdbcadcdcdcdcdcdcd．讲解30*巩固知识典型例题例3设1242i56izz，，计算(1)12zz，(2)21z．解(1)21zz=(42i)(56i)22024i10i12i3214i.(2)21z2(42i)21616i4i1216i．例4设i()zababR，，计算zz．解zz=(i)(i)abab=222iab=22ab．说明由此例可以看到，互为共轭的两个复数的乘积是实数，并且等于这个复数的模的平方．引领讲解说明讲解说明观察思考主动求解主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点第3章复数及其应用（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间例5计算52i12i．分析12i的共轭复数为12i．解52i12i(52i)(12i)(12i)(12i)222510i+2i4i12112i5112i55.例6计算(1i)(1i).解1i(1i)(1i)1i2(1i)(1i)(1i)2ii2．35*运用知识强化练习1.计算下列各题：1(32i)(34i)；2(34i)(53i)(44i)．2.设1232i43izz，，求：212112zzz；．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况45*动脑思考探索新知复数三角形式的运算实际运算时，经常使用复数的三角形式进行乘法、乘方、除法运算.详细分析讲解思考带领学生总结第3章复数及其应用（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间设11112222(cosisin)(cosisin),zrzr，则12111222(cosisin)(cosisin)zzrr1212121212[(coscossinsin)i(sincoscossin)]rr121212[cos()isin()]rr，即12121212[cos()isin()]zzrr（3．8）可以看到，乘积的模等于两个复数的模的乘积，乘积的辐角等于两个复数的辐角的和.特别地，当12(cosisin)zzr时，有2212[(cosisin)](cos2isin2)zzrr．即212(cos2isin2)zzr．（3．9）上面的结论可推广到有限个复数相乘．即(cosisin)(cosisin)(N*)nnrrnnn．（3．10）即复数的n次幂*nN（）的模等于这个复数的模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍.同样还可以得到，两个复数的商仍然是复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.即11121222[cos()isin()]zrzr．（3.11）总结归纳详细分析讲解理解记忆理解记忆55*巩固知识典型例题例7计算:2π2πππ2(cosisin)3(cosisin)3366.引领观察通过例题第3章复数及其应用（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间解2π2πππ2(cosisin)3(cosisin)33662ππ2ππ23[cos()isin()]3636＝5π5π6(cosisin)66.例8计算下列各题，并将结果用代数形式表示:（1）3ππcosisin33；（2）7(3i).分析（1）复数ππcosisin33的模为1，辐角为π3．（2）是代数形式的复数的幂，要首先将复数化为三角形式．解（1）3ππ3π3πcosisincosisin3333cosπisinπ1．（2）复数3i的模为2，辐角为5π6．所以7(3i)75π5π2[cos()isin()]66735π35π2[cos()isin()]66ππ128(cosisin)6664364i.例9计算：5π5π2π2π4(cosisin)[2(cosisin)]6633,并将结果用代数形式表示.解5π5π2π2π4(cosisin)[2(cosisin)]6633＝5π2π5π2π2[cos()isin()]6363ππ2(cosisin)66讲解说明讲解说明引领讲解说明思考主动求解主动求解进一步领会注意观察学生是否理解知识点65第3章复数及其应用（教案）教学过程教师行为学生行为教学意图时间＝3i.*运用知识强化练习计算下列各题,并将结果用代数形式表示：(1)3(cos120isin120)2(cos30isin30)；(2)65π5π(cosisin)66；(3)4(3i)．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况70*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：利用复数的代数形式，如何求12zz？结论：222222i(i)(i)()()i()()ii(i)(i)ababcdacbdbcadacbdbcadcdcdcdcdcdcd．质疑归纳强调回答理解强化师生共同归纳强调重点75*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆80*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算,并将结果用代数形式表示：ππ5π5π12[cos()isin()][3(cosisin)]3366提问巡视指导反思动手求解检验学习效果85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．2（必做）；学习与训练训练题3．2（选做）说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点第3章复数及其应用（教案）学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在教学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实